未解决问题，算术与数论，1742年提出

哥德巴赫猜想

未解决兰道 #1

每个偶数 $n>2$ 都可以写成两个素数之和: $n = p_1 + p_2$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,(二素数/强)哥德巴赫猜想仍未解决。目前最强的无条件结果仍是陈氏定理(1973年):每个充分大的偶数都是 $p + P_2$ ,即一个素数加上一个至多有两个素因子的数。三素数猜想(每个大于5的奇数都是三个素数之和)已被完全证明:赫尔夫戈特 2012–2013 年的 arXiv 预印本系列(以 The ternary Goldbach conjecture is true, arXiv:1312.7748 收官)正整理为专著《The Ternary Goldbach Problem》(将由普林斯顿大学出版社 Annals of Mathematics Studies 丛书出版),该结果已被公认为一个完整的定理,但它并不能推出二素数情形。在计算方面,二素数猜想已对直到 $4\times10^{18}$ 的所有偶数得到验证(奥利维拉·埃·席尔瓦、赫尔佐格、帕尔迪,2014年),尚未发现反例。

已知最佳结果

陈氏定理(1973年):每个充分大的偶数都是 $p + P_2$ (一个素数加上至多两个素数之积)。
三素数哥德巴赫猜想已对所有大于5的奇数 $n$ 无条件地完全证明(赫尔夫戈特,2013年,arXiv:1312.7748;专著将刊于 Annals of Mathematics Studies)。
已通过计算机验证直到 $4\times10^{18}$ 的所有偶数,未发现例外(奥利维拉·埃·席尔瓦、赫尔佐格、帕尔迪,2014年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
筛法(陈景润转换原理)	将充分大的偶数化简为 $p + P_2$ ,只多出至多一个素因子,已非常接近目标。	筛法理论中的“奇偶性问题”使得仅凭这些方法无法区分素数与半素数,因此无法将 $P_2$ 压缩为单个素数。
圆法(哈代–李特尔伍德 / 维诺格拉多夫)	通过对主弧和次弧的显式控制,无条件地完全解决了所有大于5的奇数 $n$ 的三素数情形(赫尔夫戈特,2013年)。	要将和精确匹配为两个素数,需要比现有方法更精细得多的次弧控制,因此该方法无法触及二素数情形。
大规模计算机验证	确认在 $4\times10^{18}$ 以内不存在反例(奥利维拉·埃·席尔瓦、赫尔佐格、帕尔迪,2014年)。	永远无法证明关于无穷多个偶数的命题,只能排除已检验范围内的反例。

尚未解决的问题

陈氏的 $p + P_2$ 结果能否最终压缩为两个真正的素数,还是筛法理论中的奇偶性问题构成了需要全新思路才能突破的根本障碍?
为三素数情形开发的主弧控制方法,能否结合新的筛法输入,适用于推进二素数猜想?

参考文献

Chen Jingrun (1973). On the Representation of a Larger Even Integer as the Sum of a Prime and the Product of at Most Two Primes · DOI:10.1142/9789812776600_0021
Harald Andrés Helfgott (2013). The ternary Goldbach conjecture is true · arXiv:1312.7748 [预印本,未经同行评审]
Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi (2014). Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\cdot10^{18}$ · DOI:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1