未解决问题，几何学, 代数学，1969年提出

格罗滕迪克代数闭链标准猜想

未解决

设 $X$ 为域 $k$ 上维数为 $d$ 的光滑射影簇， $H^*(X)$ 为一个韦伊上同调理论。猜想B（列夫谢茨型）断言逆列夫谢茨算子由 $X \times X$ 上的代数对应诱导；猜想D断言代数闭链的数值等价与关于 $H^*$ 的上同调等价重合；猜想I（霍奇型）断言原始代数上同调类上的相交配对满足霍奇–黎曼双线性关系。

研究前沿截至2026年

截至2026年，所有标准猜想在一般光滑射影簇上仍未解决。已有进展仅限于特殊类别：阿贝尔簇（利伯曼、克莱曼，1968年）、格拉斯曼流形与旗流形、光滑完全交、单有理三维簇与四维单有理簇（阿拉普拉），以及 $K3^{[n]}$ 型超凯勒簇（夏尔、马克曼，2013年）。猜想C（库内特投影子的代数性）在有限域上借助晶体方法（卡茨–梅辛）另有进展。

已知最佳结果

列夫谢茨标准猜想（B）已在阿贝尔簇（利伯曼、克莱曼，1968年）、格拉斯曼流形与广义旗流形、射影空间中的光滑完全交、以及 $K3^{[n]}$ 型超凯勒簇（夏尔、马克曼，2013年）上得到证明。
霍奇标准猜想（I）在特征为0时可由经典霍奇理论证明，但在正特征下，除猜想B已覆盖的情形外，基本仍未解决。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
通过西塔因子与傅里叶–向井变换构造的显式代数对应	为阿贝尔簇代数地构造逆列夫谢茨算子，并通过导出范畴方法为 $K3^{[n]}$ 型超凯勒簇构造之	依赖于群结构、超凯勒单值性等特殊几何结构，而一般光滑射影簇不具备这些结构
结合列夫谢茨丛的 $\ell$ -进上同调与晶体上同调	在不需要完整标准猜想的情况下证明了韦伊猜想（德利涅，1974年）与有限域上的猜想C（卡茨–梅辛）	并未确立相关闭链的代数性，只涉及其上同调/数值性质，因此猜想B与D仍未被触及

尚未解决的问题

列夫谢茨标准猜想（B）是否对正特征域上的每个光滑射影簇都成立？
数值等价是否对所有光滑射影簇都与上同调等价（猜想D）重合，至少在标准猜想B与霍奇猜想或塔特猜想的推论意义下成立？

参考文献

Alexander Grothendieck (1969). Standard conjectures on algebraic cycles
David I. Lieberman (1968). Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds · DOI:10.2307/2373533
François Charles, Eyal Markman (2013). The Standard Conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of K3 surfaces · DOI:10.1112/S0010437X12000607 · arXiv:1009.0413