未解决问题，组合数学与离散数学, 代数学，1893年提出

阿达马猜想

未解决

对任意正整数 $k \ge 1$ ，都存在 $n = 4k$ 阶阿达马矩阵：即元素取自 $\{-1, +1\}$ 且各行两两正交、满足 $H H^{\mathsf{T}} = n I_n$ 的 $n \times n$ 矩阵 $H \in \{-1, +1\}^{n \times n}$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年，一般阿达马猜想依然悬而未决：既未能证明对所有 $n = 4k$ 都存在阿达马矩阵，甚至也未能证明存在阿达马矩阵的 $4$ 的倍数集合具有正自然密度。不过，结合佩利矩阵、威廉姆森与戈塔尔斯–赛德尔循环分块阵列、图林基序列以及2026年AI辅助分块搜索，人们已为 $n \le 2000$ 的所有 $4$ 的倍数显式构造出阿达马矩阵。在渐近方向上，德·劳内与戈登（2001年）在广义黎曼猜想下证明：满足 $4m$ 阶阿达马矩阵存在的 $m \le x$ 的个数至少为 $\frac{x}{\log x} e^{(C + o(1))(\log\log\log x)^2}$ 。

已知最佳结果

当 $q_i \equiv 3 \pmod 4$ 与 $r_j \equiv 1 \pmod 4$ 为素数幂时，无穷族阶数 $n = 2^a 12^b 20^c \prod (q_i + 1) \prod 2(r_j + 1)$ 的阿达马矩阵均已获证存在（西尔维斯特 1867；佩利 1933）。
对 $n = 2000$ 以内的所有 $4$ 的倍数均已构造出显式阿达马矩阵（包括卡拉加尼–泰费-礼萨伊于2005年构造的 $428$ 阶以及2026年构造的 $668$ 阶）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
$\mathbb{F}_q$ 上的佩利二次剩余差集构造	利用 $\mathbb{F}_q$ 上雅各布斯塔尔矩阵的特征和正交性，构造出 $q + 1$ 阶（ $q \equiv 3 \pmod 4$ ）和 $2(q + 1)$ 阶（ $q \equiv 1 \pmod 4$ ）阿达马矩阵。	素数幂在整数中的渐近密度仅为零密度 $\Theta(x / \log x)$ ，即便结合克罗内克积，仍有无穷多个合数阶 $n = 4k$ 无法覆盖。
戈塔尔斯–赛德尔阵列、 $T$ -序列与循环分块分解	将 $4m$ 阶阿达马矩阵的构造归约为寻找四个满足自相关之和为零（ $AA^{\mathsf{T}} + BB^{\mathsf{T}} + CC^{\mathsf{T}} + DD^{\mathsf{T}} = 4m I_m$ ）的 $m \times m$ 循环 $\pm 1$ 矩阵 $A, B, C, D$ ，从而逐一攻克了 $2000$ 以内的零散阶数。	需要对每个长度 $m$ 单独进行有限组合搜索，无法给出适用于所有整数 $m \ge 1$ 的统一代数证明。

尚未解决的问题

使得 $4k$ 阶阿达马矩阵存在的正整数 $k$ 的集合是否具有正的下渐近密度？
是否对每个 $4$ 的倍数都存在满足 $S^{\mathsf{T}} = -S$ 的反对称型阿达马矩阵 $H = I_n + S$ ？

参考文献

Jacques Hadamard (1893). Résolution d'une question relative aux déterminants
Raymond E. A. C. Paley (1933). On orthogonal matrices · DOI:10.1002/sapm1933121311
Hadi Kharaghani, Behruz Tayfeh-Rezaie (2005). A Hadamard matrix of order 428 · DOI:10.1002/jcd.20043
Epoch AI (2026). Hadamard Matrix of Order 668 — FrontierMath: Open Problems