未解决问题，组合数学与离散数学, 几何学，1950年提出

哈德维格–纳尔逊问题

未解决

确定欧几里得平面的染色数 $\chi(\mathbb{R}^2)$ ，即对平面 $\mathbb{R}^2$ 上的所有点进行染色，使得欧氏距离满足 $\|x - y\|_2 = 1$ 的任意两点都不会获得相同颜色所需的最少颜色数。

研究前沿截至2026年

截至2026年，平面的染色数满足 $5 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$ 。下界 $\chi(\mathbb{R}^2) \ge 5$ 由奥布里·德格雷（2018）以及埃克苏与伊斯梅莱斯库（2020）独立确立，目前已知最小的 $5$ 色单位距离图含 $509$ 个顶点（帕茨，2020）。对于可测染色，相关研究已推进至 $\chi_m(\mathbb{R}^2) \ge 5$ 与 $\chi_m(\mathbb{R}^2) \ge 6$ ，但在 $\mathbb{R}^2$ 中是否存在有限的 $6$ 色单位距离图仍然悬而未决。

已知最佳结果

平面的染色数至少为 $5$ ： $5 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$ （奥布里·德格雷，2018）。
$\mathbb{R}^2$ 中已知最小的 $5$ 色单位距离图有 $509$ 个顶点（扬·帕茨，2020，继赫勒的 $510$ 顶点图之后）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
代数单位距离格与 SAT 求解器	嵌入包含大量莫泽纺锤图的 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}, \sqrt{11}]$ 稠密子图，并借助 SAT 求解器验证所有 $4$ 染色均被阻断，从而证明 $\chi(\mathbb{R}^2) \ge 5$ 。	对于 $5$ 染色， $\mathbb{R}^2$ 中单位距离图的平均度过小，若不构造天文数字规模的顶点集，极难阻断 $5$ 可染性。
可测染色的调和分析与半正定规划方法	利用贝塞尔函数界定 $\mathbb{R}^2$ 中可测独立集的最大密度，证明了 $\chi_m(\mathbb{R}^2) \ge 5$ 。	无法排除借助选择公理构造出的不可测 $5$ 染色或 $6$ 染色。

尚未解决的问题

欧几里得平面的染色数 $\chi(\mathbb{R}^2)$ 究竟等于 $5$ 、 $6$ 还是 $7$ ？
$\chi(\mathbb{R}^2)$ 的具体数值是否依赖于选择公理或 ZFC 的扩展公理？

参考文献

Aubrey D. N. J. de Grey (2018). The chromatic number of the plane is at least 5 · arXiv:1804.02385
Alexander Soifer (2009). The Mathematical Coloring Book · DOI:10.1007/978-0-387-74642-5