未解决问题，几何学，1950年提出

海尔布隆三角形问题

未解决

对于放置在平面上面积为 $1$ 的紧致凸区域（如单位正方形 $[0,1]^2$ 或单位面积圆盘）内的 $n \ge 3$ 个点，记 $\Delta(n)$ 为其中任意三点所构成三角形的最小面积在所有 $n$ 点配置下所能达到的上确界。确定当 $n \to \infty$ 时 $\Delta(n)$ 的渐近数量级。

研究前沿截至2026年

截至2026年，海尔布隆三角形问题依然远未解决，目前最优下界 $\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$ （科姆洛什–平茨–塞梅雷迪，1982）与最优上界 $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$ （科恩–波霍阿塔–扎哈罗夫，2024，`arXiv:2409.07658`）之间仍存在显著的多项式级差距。自1981年科姆洛什、平茨与塞梅雷迪建立 $\Delta(n) \le n^{-8/7 + o(1)}$ 以来，上界指数 $8/7 \approx 1.1429$ 保持了四十余年未被撼动，直到科恩、波霍阿塔与扎哈罗夫将罗斯的窄带论证重构为点与 $\delta$ -管之间的多尺度关联问题，才于2023年（`arXiv:2305.18253`）将其推进至 $8/7 + 1/2000$ ，并在2024年进一步提升至 $7/6 \approx 1.1667$ 。

已知最佳结果

上界： $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$ （亚历克斯·科恩、科斯明·波霍阿塔、德米特里·扎哈罗夫，2024，`arXiv:2409.07658`）。
下界： $\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$ （亚诺什·科姆洛什、亚诺什·平茨、恩德雷·塞梅雷迪，1982）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
高低频傅里叶方法与多尺度点–管关联理论（科恩–波霍阿塔–扎哈罗夫）	将不含小面积三角形的假设转化为跨尺度点与窄带（ $\delta$ -管）关联数的下界，从而将上界指数从 $8/7$ 提升至 $7/6$ 。	两步关联论证只能追踪点对及其确定的窄带；若要逼近指数 $2$ ，必须控制更高阶的多点相关性。
超图半随机独立集方法（阿伊泰–科姆洛什–平茨–斯宾塞–塞梅雷迪）	在短圈稀少的小面积三元组构成的 $3$ -均匀超图中找到大独立集，比埃尔德什的 $1/n^2$ 构造额外赢得了 $\log n$ 因子。	当面积阈值超过 $\gg \log n / n^2$ 时，超图中的三元组大量共边并形成密集的局部簇，破坏了超图无短圈的稀疏条件。

尚未解决的问题

$\Delta(n)$ 的真实渐近阶究竟是 $\Theta(\log n / n^2)$ ，还是存在某种点配置能达到 $\Delta(n) \ge n^{-2 + \delta}$ （其中 $\delta > 0$ ）？

参考文献

János Komlós, János Pintz, Endre Szemerédi (1982). A lower bound for Heilbronn's problem · DOI:10.1112/jlms/s2-25.1.13
Alex Cohen, Cosmin Pohoata, Dmitrii Zakharov (2023). A new upper bound for the Heilbronn triangle problem · arXiv:2305.18253
Alex Cohen, Cosmin Pohoata, Dmitrii Zakharov (2024). Lower bounds for incidences · arXiv:2409.07658 [预印本,未经同行评审]