内接正方形问题（托普利茨猜想）

截至2026年，托普利茨内接正方形问题对于一般连续（例如分形或处处不可微的）约当曲线 $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ 依然悬而未决。对于光滑约当曲线，约书亚·埃文·格林与安德鲁·洛布（`arXiv:2005.09193`，2021年发表于 Annals of Mathematics）证明了适用于任意长宽比的更强内接矩形猜想，并随后推广至所有圆内接四边形。2024年（`arXiv:2407.07798`），格林与洛布引入约当弗洛尔同调的谱不变量，将陶哲轩关于利普希茨函数图像的内接正方形定理中的利普希茨常数界从 $1$ 推进到 $1 + \sqrt{2}$。一般连续曲线面临的核心障碍在于：当用光滑曲线列 $\gamma_k \to \gamma$ 逼近连续曲线时，$\gamma_k$ 上内接正方形的边长在极限过程中可能退化缩减为 $0$。