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未解决问题，分析学，1949年提出

不变子空间问题

未解决

设 HH 是维数 dim⁡H=∞\dim H = \infty 的复可分希尔伯特空间，T:H→HT : H \to H 是有界线性算子。是否总是存在一个在 TT 下不变的（即满足 T(W)⊆WT(W) \subseteq W）非平凡闭线性子空间 W⊂HW \subset H（即 W≠{0}W \neq \{0\} 且 W≠HW \neq H）？

提出者, 1949约翰·冯·诺伊曼
研究前沿 截至2026年

截至2026年，可分无穷维复希尔伯特空间的不变子空间问题仍然悬而未决。目前已对许多广泛的算子类取得了肯定结果——包括正规算子、紧算子与多项式紧算子、与紧算子可交换的算子、亚正规算子，以及谱包含单位圆周 T\mathbb{T} 的压缩算子。佩尔·恩弗洛（`arXiv:2305.15442`）和查尔斯·W·内维尔（`arXiv:2307.08176`）于2023年发布的声称对可分希尔伯特空间给出肯定证明的预印本尚未得到同行评审确认。

已知最佳结果

  • 洛莫诺索夫（1973年）：巴拿赫空间上任何与非零紧算子可交换的非标量有界算子都具有非平凡闭超不变子空间。
  • 斯科特·布朗（1978年）及布朗–舍夫罗–皮尔西（1988年）：希尔伯特空间上的每个亚正规算子，以及谱 σ(T)\sigma(T) 包含单位圆周 T\mathbb{T} 的每个压缩算子 TT，都具有非平凡闭不变子空间。
  • 恩弗洛（1976/1987年）与里德（1985年）：在可分巴拿赫空间（包括 ℓ1\ell^1）上存在没有非平凡闭不变子空间的有界线性算子。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
绍德尔不动点定理与紧逼近（洛莫诺索夫方法）证明了与非零紧算子可交换的算子存在超不变子空间HH 上的许多有界算子不与任何非零紧算子可交换
斯科特·布朗的对偶代数与 H∞H^\infty 函数演算方法解决了亚正规算子以及在 T\mathbb{T} 上具有丰富谱的压缩算子的情形需要丰富的 H∞H^\infty 函数演算或谱集结构，无法直接用于一般拟幂零算子

尚未解决的问题

  • 无穷维可分希尔伯特空间上的每个拟幂零有界线性算子 TT（即 σ(T)={0}\sigma(T) = \{0\}）是否都具有非平凡闭不变子空间？
  • 当 1<p<∞1 < p < \infty 且 p≠2p \neq 2 时，自反序列空间 ℓp\ell^p 上的每个有界线性算子是否都拥有非平凡闭不变子空间？

参考文献

  1. Victor I. Lomonosov (1973). Invariant subspaces for the family of operators which commute with a completely continuous operator · DOI:10.1007/BF01078890
  2. Per Enflo (1987). On the invariant subspace problem for Banach spaces · DOI:10.1007/BF02392560
  3. Heydar Radjavi, Peter Rosenthal (2003). Invariant Subspaces