未解决问题，代数学，1892年提出

反伽罗瓦问题

未解决

每一个有限群 $G$ 是否都能实现为有理数域 $\mathbb{Q}$ 的某个有限伽罗瓦扩张 $K$ 的伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ ？

研究前沿截至2026年

截至2026年， $\mathbb{Q}$ 上的一般反伽罗瓦问题仍未解决。所有可解群均已实现（沙法列维奇，1954年），且2026年8月黄小雨、杰克逊、李圭焕、普南、普里斯与张绍武的一篇预印本通过非刚性共轭类三元组与数值别利映射计算，实现了最后一个悬而未决的散在单群——马蒂厄群 $M_{23}$ ，完成了散在单群计划。然而，李型有限单群的无穷族（如任意 $n$ 与 $q$ 下的 $\operatorname{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$ ）以及一般非可解群扩张仍遥不可及。

已知最佳结果

每个有限可解群都是 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群（沙法列维奇，1954年）。
全部26个散在有限单群均已在 $\mathbb{Q}$ 上实现：其中25个于1984–1989年间由汤普森、马扎特、马勒、帕林斯等人通过刚性方法实现，而 $M_{23}$ 则在2026年黄小雨、杰克逊、李圭焕、普南、普里斯与张绍武的预印本中得以实现。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
希尔伯特不可约性定理与汤普森刚性方法	由 $G$ 中有理共轭类的刚性元组构造 $\mathbb{Q}(t)$ 的正则伽罗瓦扩张，实现了 $S_n$ 、 $A_n$ 、25个散在单群以及众多经典李型群	任意有限域 $\mathbb{F}_{p^r}$ 上的许多李型单群缺乏有理刚性元组，且刚性性质无法自动提升到一般群扩张
上同调嵌入问题与修补伽罗瓦表示	解决了所有可解群的反伽罗瓦问题（沙法列维奇），并借助模形式与自守表示实现了特定同余类下的线性群 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^r})$	布劳尔–马宁障碍以及一般自守提升定理的缺失，阻碍了对所有非阿贝尔扩张及高阶李型群的统一实现

尚未解决的问题

是否每一个有限单群——特别是对所有素数 $p$ 与指数 $r \ge 1$ 的 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_{p^r})$ ——都能实现为 $\mathbb{Q}(t)$ 上的正则伽罗瓦群？

参考文献

Jean-Pierre Serre (1992). Topics in Galois Theory
Gunter Malle, B. Heinrich Matzat (1999). Inverse Galois Theory · DOI:10.1007/978-3-662-12123-8
Xiaoyu Huang, Blake Jackson, Kyu-Hwan Lee, Bjorn Poonen, Rachel Pries, Shaowu Zhang (2026). The Mathieu group M23 is a Galois group over Q · arXiv:2608.08538 [预印本,未经同行评审]