未解决问题，代数学, 分析学，1939年提出

雅可比猜想

部分解决斯梅尔 #16

设 $k$ 是特征为 $0$ 的域（等价地取 $k = \mathbb{C}$ ），且 $F = (f_1, \dots, f_n) : k^n \to k^n$ 是一个多项式映射，其雅可比行列式 $\det\!\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$ 是 $k^\times$ 中的非零常数。 $F$ 是否必定具有多项式逆映射 $G : k^n \to k^n$ ？

研究前沿截至2026年

2026年7月，莱文特·阿尔珀盖通过给出显式多项式映射 $F(x,y,z) = ((1+xy)^3 z + y^2(1+xy)(4+3xy),\, y + 3x(1+xy)^2 z + 3xy^2(4+3xy),\, 2x - 3x^2 y - x^3 z)$ 否定了所有维数 $n \ge 3$ 下的一般雅可比猜想；该映射在 $\mathbb{C}^3$ 上处处具有常数雅可比行列式 $-2$ ，但在一般点上是 $3$ 对 $1$ 的。因此，截至2026年，仅剩二维平面雅可比猜想（ $n = 2$ ）尚未解决。

已知最佳结果

阿尔珀盖（2026年）：由 $n = 3$ 中次数为 $5$ 的显式反例，雅可比猜想在所有维数 $n \ge 3$ 下均不成立。
在维数 $n = 2$ 时，当域扩张 $\mathbb{C}(x,y)/\mathbb{C}(f,g)$ 是伽罗瓦扩张（Campbell，1973年）、次数不超过 $104$ （莫宗坚，1983年；Nguyen，2025年），或 $\gcd(\deg f, \deg g)$ 为素数或不超过 $16$ （Abhyankar、Appelgate–Onishi、永田雅宜）时，猜想成立。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
牛顿多边形与无穷远近似根（阿比扬卡尔–莫宗坚–永田雅宜）	排除了次数不超过 $104$ 的平面反例，并严格限制了任何潜在平面反例的次数比 $\deg f / \deg g$	无穷远处奇异分支的组合爆炸阻碍了在 $n = 2$ 时覆盖任意合数次数对
降次法与幂零雅可比矩阵（巴斯–康奈尔–赖特）	以增加维数 $n$ 为代价将一般问题归约为三次齐次映射 $x + H(x)$	由于稳定化会增加维数 $n$ 而猜想在 $n \ge 3$ 时不成立，高维降次法无法解决 $n = 2$ 的情形

尚未解决的问题

平面雅可比猜想（ $n = 2$ ）是否对所有具有非零常数雅可比行列式的多项式映射 $F : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 成立？
第一迪克斯米尔猜想是否成立：第一外尔代数 $A_1(\mathbb{C})$ 的每个代数自同态是否都是自同构？

参考文献

Ott-Heinrich Keller (1939). Ganze Cremona-Transformationen · DOI:10.1007/BF01704923
Hyman Bass, Edwin H. Connell, David Wright (1982). The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse · DOI:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7
Arno van den Essen (2000). Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture