n² + 1 型素数(朗道第四问题)

截至2026年,朗道第四问题依然悬而未决:尚未有任何一个次数 $\ge 2$ 的单变量多项式被证明能表示无穷多个素数。序列 $\{n^2 + 1 : n \le x\}$ 在 $x$ 以内仅有 $\sqrt{x}$ 个元素,远比目前可处理的任何短区间 $[x, x + x^\theta]$ 更加稀疏,而且经典筛法受制于奇偶性壁垒,无法区分素数($P_1$)与两个素数的乘积($P_2$)。最具代表性的无条件结果仍是亨里克·伊瓦涅茨1978年的定理:$n^2 + 1$ 有无穷多次是 $P_2$ 殆素数,且满足 $\#\{n \le x : n^2 + 1 \in P_2\} \gg x / \log x$。第二条进攻路线是估计最大素因子 $P^+(n^2 + 1)$ 的下界:若能证明 $P^+(n^2 + 1) > n^2$ 有无穷多次成立,则 $n^2 + 1$ 本身就是素数;约里·梅里科斯基(2023年,arXiv:1908.08816)将该指数推进到 $P^+(n^2 + 1) \ge n^{1.279}$ 有无穷多次成立(并在后续工作中推进至 $1.312$)。对于密度为 $x^{3/4}$ 或 $x^{2/3}$ 的二元多项式,奇偶性壁垒已被突破:弗里德兰德与伊瓦涅茨(1998年)证明了形如 $a^2 + b^4$ 的素数有无穷多个,希思-布朗(2001年)则对 $a^3 + 2b^3$ 证明了同样的结论。