未解决问题，算术与数论, 代数学，1967年提出

朗兰兹纲领

部分解决

对于全局域 $F$ 上的任意约化代数群 $G$ ，在 $G(\mathbb{A}_F)$ 的自守表示与 $\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)$ 到朗兰兹对偶群 ${}^L G$ 的伽罗瓦表示之间建立典范对应（互反律），使得对偶群之间的同态诱导自守表示之间的相容转移（函子性），并对每个表示 $r$ 保持 $L$ -函数相等 $L(s, \pi, r) = L(s, \rho, r)$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年，函数域上 $\mathrm{GL}_n$ 的全局朗兰兹对应已获证明（德林费尔德、拉福格），且函数域上一般约化群 $G$ 从自守侧到伽罗瓦侧的参数化也已由文森特·拉福格（2018）建立。2024年5月，阿林金、贝拉尔多、坎贝尔、陈、法尔格曼、盖茨戈里、林、拉斯金与罗森布留姆发布了五篇系列论文，完成了非分歧范畴化几何朗兰兹猜想的证明。在诸如 $\mathbb{Q}$ 的数域上，借助泰勒–怀尔斯修补法与阿瑟的内视分类，许多经典及志村型伽罗瓦表示的自守性已获解决，但一般的互反律与函子性依然远未解决。

已知最佳结果

函数域上 $\mathrm{GL}_n$ 的全局朗兰兹对应（洛朗·拉福格，2002）以及 $p$ -进域上 $\mathrm{GL}_n$ 的局部朗兰兹对应（哈里斯–泰勒，埃尼亚尔，2000）。
复代数曲线上约化群 $G$ 的非分歧范畴化几何朗兰兹猜想的完全证明（盖茨戈里、拉斯金等，2024）。
$p$ -进域上一般约化群 $G$ 在法尔格–方丹曲线上的局部朗兰兹对应几何化（法尔格–舒尔策，2021）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
阿瑟–塞尔伯格迹公式与内视理论	结合吴宝珠对基本引理的证明，建立了从典型群（正交群、辛群、酉群）到 $\mathrm{GL}_n$ 的函子转移（阿瑟，2013）。	一般函子性（超越内视理论）需要在不依赖内视群比较的情况下，直接从迹公式中分离出任意 $L$ -函数的极点。
泰勒–怀尔斯模性提升与卡莱加里–格拉蒂修补法	证明了 $\mathbb{Q}$ 及全实域上椭圆曲线的模性、佐藤–泰特猜想，以及 $\mathrm{GL}_2$ 表示对称幂的潜在自守性。	要求伽罗瓦表示出现在志村簇的上同调中，或在 $\mathbb{Q}$ 上满足严格的正则性与自对偶性限制。

尚未解决的问题

数域上的每个动机伽罗瓦表示是否都对应于某个约化群 $G$ 的自守表示？
在数域上，能否对所有对称幂转移 $\mathrm{Sym}^n$ 以及朗兰兹对偶群的一般同态证明朗兰兹函子性？

参考文献

Ngô Bảo Châu (2010). Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie · DOI:10.1007/s10240-010-0026-7
Stephen Gelbart (1984). An elementary introduction to the Langlands program · DOI:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6
Dennis Gaitsgory, Sam Raskin (2024). Proof of the geometric Langlands conjecture I: construction of the functor · arXiv:2405.03599 [预印本,未经同行评审]