未解决问题，算术与数论, 代数学，1933年提出

莱默的马勒测度问题

未解决

是否存在常数 $\mu > 1$ ,使得每个马勒测度满足 $M(P) > 1$ 的整系数多项式 $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 都满足 $M(P) \ge \mu$ ?更具体地说, $L(x) = x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1$ 的马勒测度——莱默数 $\lambda \approx 1.17628$ ——是否是严格大于 $1$ 的最小马勒测度?

研究前沿截至2026年

截至2026年,莱默的马勒测度问题仍未解决。史密斯1971年的定理通过建立精确下界 $\theta_0 \approx 1.32471$ 完全解决了非互反情形,因此任何反例都必须是偶数次的互反多项式。多布罗沃尔斯基1979年的不等式及其后续改进排除了当次数 $d$ 增长时马勒测度过快趋近于 $1$ 的可能性,而迪米特洛夫(2019年)证明了关于共轭最大模的欣策尔–扎森豪斯猜想这一长期存在的姊妹问题。尽管如此,尚无任何方法能够排除存在马勒测度严格介于 $1$ 与 $\lambda \approx 1.17628$ 之间的高次互反多项式(或萨勒姆数)。

已知最佳结果

史密斯(1971年):每个满足 $P(0) \ne 0$ 的非互反整系数多项式 $P(x)$ 都满足 $M(P) \ge \theta_0 \approx 1.32471795$ 。
多布罗沃尔斯基(1979年):对于任意次数为 $d$ 的非分圆不可约整系数多项式,有 $M(P) > 1 + c (\log \log d / \log d)^3$ 。
穷举计算(莫辛霍夫、兰与吴,2008年)验证了对所有次数 $d \le 44$ , $\lambda \approx 1.1762808$ 是 $> 1$ 的最小马勒测度。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
辅助多项式与结式界(多布罗沃尔斯基方法)	给出关于次数 $d$ 的最佳一般渐近下界 $M(P) > 1 + c (\log \log d / \log d)^3$	当 $d \to \infty$ 时因子 $(\log \log d / \log d)^3$ 衰减至 $0$ ,无法给出与次数无关的常数 $\mu > 1$
全纯函数/汉克尔行列式技术(迪米特洛夫方法)	解决了关于代数整数最大共轭模的欣策尔–扎森豪斯猜想	依赖于非互反结构或幂级数的非有理性,当互反多项式的共轭聚集在单位圆附近时该方法失效

尚未解决的问题

是否存在对所有次数 $d$ 都将 $M(P)$ 与 $1$ 分开的普适常数 $\mu > 1$ ?
莱默数 $\lambda \approx 1.17628$ 是否是最小的萨勒姆数?

参考文献

D. H. Lehmer (1933). Factorization of certain cyclotomic functions · DOI:10.2307/1968172
C. J. Smyth (1971). On the product of the conjugates outside the unit circle of an algebraic integer · DOI:10.1112/blms/3.2.169
E. Dobrowolski (1979). On a question of Lehmer and the number of irreducible factors of a polynomial · DOI:10.4064/aa-34-4-391-401
Enrico Bombieri, Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry · DOI:10.1017/CBO9780511542879