未解决问题，算术与数论, 分析学，1908年提出

林德勒夫猜想

未解决

对任意 $\varepsilon > 0$ ,临界线上的黎曼 zeta 函数当 $t \to \infty$ 时满足 $\zeta\!\left(\tfrac{1}{2} + it\right) = O(t^{\varepsilon})$ ;等价地,增长指数 $\mu(\sigma) = \inf\{a : \zeta(\sigma+it) = O(t^a)\}$ 满足 $\mu\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 0$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,林德勒夫猜想仍未解决。临界线上已发表的最佳无条件逐点上界是布尔甘2017年证明的 $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{13}{84} \approx 0.15476$ ,该结果通过将布尔甘–德梅特 $\ell^2$ 解耦不等式引入邦别里–伊万涅茨方法获得(改进了赫胥黎的 $\tfrac{32}{205} \approx 0.15610$ )。对于 $\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$ 的矩,目前仅对二次矩( $2k=2$ )和四次矩( $2k=4$ )无条件地知道渐近公式,甚至六次矩( $2k=6$ )也依然未决。而在林德勒夫猜想所蕴含的零点密度猜想( $N(\sigma, T) \ll T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$ )方向上,古斯与梅纳德于2024年取得里程碑式突破,以 $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ 打破了英厄姆自1940年以来在 $\sigma = \tfrac{3}{4}$ 处的壁垒。

已知最佳结果

无条件逐点界: $\zeta(\tfrac{1}{2}+it) \ll t^{13/84+\varepsilon}$ ,其中 $\tfrac{13}{84} \approx 0.15476$ (布尔甘,2017年)。
黎曼猜想下的条件界: $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \ll \exp\!\left(C \frac{\log t}{\log\log t}\right)$ (李特尔伍德,1924年)。
朝向密度猜想的零点密度界: $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ (古斯与梅纳德,2024年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
邦别里–伊万涅茨方法与 $\ell^2$ 解耦	将近似函数方程分解为有理相位近似的短指数和,并利用调和分析中的解耦不等式估计共振集,从而达到 $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{13}{84}$ 。	$t \log n$ 的局部泰勒近似只能捕捉 $n$ 在短区间上的抵消,仍留下远高于 $0$ 的正指数壁垒。
狄利克雷多项式大值估计(古斯–梅纳德方法)	通过分析高阶时频矩阵的奇异值来控制狄利克雷多项式 $\sum_{n \sim N} a_n n^{-it}$ 取大值的频率,证明了 $N(\sigma, T) \ll T^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+o(1)}$ 。	该方法控制的是带形区域 $\sigma > \tfrac{1}{2}$ 内的平均零点密度,尚无法直接给出临界线 $\sigma = \tfrac{1}{2}$ 上的六次及以上矩或逐点界。

尚未解决的问题

能否无条件地证明六次矩估计 $\int_0^T |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|^6\,dt \ll T^{1+\varepsilon}$ ?
能否在不先证明林德勒夫猜想的情况下,对所有 $\tfrac{1}{2} \le \sigma \le 1$ 无条件地证明密度猜想 $N(\sigma, T) \ll T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$ ?

参考文献

Ernst Lindelöf (1908). Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)
E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta-Function (2nd ed., rev. by D. R. Heath-Brown)
Jean Bourgain (2017). Decoupling, exponential sums and the Riemann zeta function · DOI:10.1090/jams/860 · arXiv:1408.5794
Larry Guth, James Maynard (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials · arXiv:2405.20552