未解决问题，算术与数论，1930年提出

利特尔伍德猜想

未解决

对任意实数对 $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ ,都有 $\liminf_{n \to \infty} n \, \|n\alpha\| \, \|n\beta\| = 0$ ,其中 $\|x\|$ 表示 $x$ 到最近整数的距离。

研究前沿截至2026年

截至2026年,利特尔伍德猜想仍未解决。艾因西德勒、卡托克与林登施特劳斯2006年的里程碑定理利用 $\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ 上高阶对角作用的测度刚性,证明了例外集 $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ 的豪斯多夫维数为 $0$ 。后续工作在 $\alpha$ 属于特定分形集(如缺数字康托尔集)或满足显式连分数增长条件时验证了猜想,并建立了定量密度界。然而,测度刚性要求正熵,这使孤立或零熵的非代数有界轨道的存在可能性仍未排除。

已知最佳结果

艾因西德勒、卡托克与林登施特劳斯(2006年):违反利特尔伍德猜想的实数对 $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ 所成集合的豪斯多夫维数为 $0$ 。
卡塞尔斯与斯温纳顿-戴尔(1955年):当 $1, \alpha, \beta$ 在 $\mathbb{Q}$ 上张成一个三次域时,猜想成立。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
齐性空间( $\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ )上的测度刚性	分类了对角作用下的正熵不变测度,并迫使例外集的豪斯多夫维数为 $0$	无法分类熵为 $0$ 的不变测度,因此不能排除不携带正熵测度的单个有界轨道
连分数与数域中的单位群	当 $\alpha$ 不是难逼近数,或 $(\alpha, \beta)$ 位于 $\mathbb{Q}$ 上的三次域中时解决了该猜想	高维情形下对一般实数对 $(\alpha, \beta)$ 缺乏规范的周期连分数算法

尚未解决的问题

$\mathrm{SL}(3, \mathbb{R})/\mathrm{SL}(3, \mathbb{Z})$ 中对角群 $A$ 的每条有界轨道是否都是周期的(紧致的),从而完全推出利特尔伍德猜想?
对每个实数 $\alpha$ 和每个素数 $p$ , $p$ -进利特尔伍德猜想 $\liminf_{n \to \infty} n \, |n|_p \, \|n\alpha\| = 0$ 是否成立?

参考文献

Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss (2006). Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture · DOI:10.4007/annals.2006.164.513 · arXiv:math/0612721
J. W. S. Cassels, H. P. F. Swinnerton-Dyer (1955). On the product of three homogeneous linear forms and the indefinite ternary quadratic forms · DOI:10.1098/rsta.1955.0010
Manfred Einsiedler, Elon Lindenstrauss (2006). Open problems in dynamical diophantine approximation