未解决问题，组合数学与离散数学, 算术与数论，1967年提出

孤独跑者猜想

未解决

设 $n$ 名跑者在周长为 1 的圆形跑道上，从同一起点在时刻 0 同时出发，每人以不同的恒定速度奔跑。若在时刻 $t$ ，某跑者与所有其他跑者之间的圆弧距离均不小于 $\frac{1}{n}$ ，则称该跑者在时刻 $t$ 是孤独的。该猜想断言，每个跑者都会在某个时刻 $t > 0$ 变得孤独。

研究前沿截至2026年

截至2026年，孤独跑者猜想对一般 $n$ 仍未解决。2025至2026年间，一系列计算机辅助证明将已验证范围从巴拉哈斯–塞拉（2008年）的7名跑者扩展至13名跑者。主要突破包括：马修·罗森菲尔德的预印本（8名跑者，arXiv:2509.14111；9名跑者，arXiv:2512.01912）、塔努帕特·特拉库尔通柴的预印本（9–10名跑者，arXiv:2511.22427）以及宋卡威奇–特拉库尔通柴的预印本（11–13名跑者，arXiv:2604.23906）。所有证明均为计算机辅助，依赖筛法技术。目前尚无对一般 $n$ 的无条件证明。

已知最佳结果

2026年，已通过计算机辅助证明对所有 $n \le 13$ 名跑者完成验证。
对于构成等差数列的速度，或更一般地，对于有界密度的博尔集中的速度，猜想已知成立。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
计算机辅助筛法 / 穷举情形分析	通过对所有速度配置（对称性等价类下）进行穷举验证，证明特定较小 $n$ 值时的猜想。	搜索空间随 $n$ 超指数增长，若没有根本性的新结构洞察，该方法对较大的 $n$ 不可行。
博尔集与加法组合学	建立了较弱的密度型结果：当速度落在有界密度的结构化算术集合中时猜想成立。	无法在没有额外结构的情况下，对任意不同整数速度强制猜想成立。

尚未解决的问题

是否存在一种统一的代数或分析证明策略，能够在不逐情形机器验证的前提下处理所有 $n$ ？
当跑者允许具有实数（非整数）速度时，猜想是否成立？或者能否对非整数速度构造反例？

参考文献

Jordi Barajas, Oriol Serra (2008). The lonely runner with seven runners · DOI:10.37236/772
Matthieu Rosenfeld (2025). The lonely runner conjecture holds for eight runners · arXiv:2509.14111 [预印本,未经同行评审]
Tanupat Trakulthongchai (2025). Nine and ten lonely runners · arXiv:2511.22427 [预印本,未经同行评审]
Touch Sungkawichai, Tanupat Trakulthongchai (2026). Eleven, twelve, and thirteen lonely runners · arXiv:2604.23906 [预印本,未经同行评审]
Bela Bajnok (2007). The Lonely Runner Problem