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未解决问题，微分方程与动力系统, 分析学，1982年提出

曼德博集合局部连通性猜想（MLC）

未解决

设 M={c∈C:sup⁡n≥1∣fc∘n(0)∣<∞}M = \{c \in \mathbb{C} : \sup_{n \ge 1} |f_c^{\circ n}(0)| < \infty\} 为二次多项式族 fc(z)=z2+cf_c(z) = z^2 + c 的曼德博集合。MM 在每一点 c∈Mc \in M 处是否都是局部连通的（即在子空间拓扑 M⊂CM \subset \mathbb{C} 下，每一点 c∈Mc \in M 是否都拥有任意小的连通邻域）？

研究前沿 截至2026年

截至2026年，MLC 猜想在一般情形下仍未完全解决。约科兹定理解决了所有有限次可重整化参数 c∈Mc \in M，将 MLC 归约为无穷次可重整化参数（嵌套在无穷序列小型 MM 副本内部的参数点）。尽管通过柳比奇、卡恩、阿维拉、杜德科等人的工作，已在有界型、高阶本原型及多种卫星组合构型下建立了先验复界与局部连通性，但一般无界卫星型无穷次可重整化情形仍是主要障碍。

已知最佳结果

  • 约科兹（1990年）：曼德博集合 MM 在每个至多有限次可重整化的参数 c∈Mc \in M 处局部连通。
  • 柳比奇（1997年）与卡恩–柳比奇（2006–2009年）：MLC 在有界组合型无穷次可重整化参数以及满足装饰界的本原型无穷次可重整化参数处成立。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
约科兹拼图、参数拼图与格勒奇环模数求和证明了对所有有限次可重整化参数，嵌套的参数拼图块必收缩为单点对无穷次可重整化参数，若无先验几何界，相邻拼图层级之间的圆环可能发生退化
类二次重整化理论与卡恩–柳比奇覆盖引理为本原型及有界卫星型重整化建立了先验复界与刚性定理无界卫星型重整化级联可能使共形模数发生超出标准覆盖引理控制范围的畸变

尚未解决的问题

  • 对于具有无界卫星组合结构的任意无穷次可重整化二次多项式，先验复界是否依然成立？
  • 双曲参数在曼德博集合 MM 中是否稠密（即次数为 22 时的双曲稠密性猜想）？

参考文献

  1. Adrien Douady, John H. Hubbard (1984). Étude dynamique des polynômes complexes (Première et deuxième parties)
  2. John H. Hubbard (1993). Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci: three theorems of J.-C. Yoccoz
  3. Mikhail Lyubich (1997). Dynamics of quadratic polynomials, I–II · DOI:10.1007/BF02392711