梅森素数的无穷性

截至2026年,梅森素数的无穷性仍未解决。目前只知道52个,是通过 GIMPS 用卢卡斯–莱默检验法测试了所有指数至约1.36亿而找到的。伦斯特拉–波梅兰斯–瓦格斯塔夫启发式方法将每个 $M_p$ 为素数的“期望”概率视为(对素数 $p$)$\frac{e^\gamma}{\ln 2}\cdot\frac{1}{p}$,预测指数不超过 $X$ 的梅森素数约有 $\frac{e^\gamma}{\ln 2}\ln X$ 个——这是一个发散、即无穷的计数——且与已知列表吻合良好,但这只是概率模型,并非证明。