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未解决问题，微分方程与动力系统，2000年提出

纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性

未解决千禧年斯梅尔 #15

对于 R3\mathbb{R}^3 中的不可压缩纳维-斯托克斯方程 ∂tui+∑j=13uj∂jui=νΔui−∂ip,div⁡u=0,\partial_t u_i + \sum_{j=1}^3 u_j \partial_j u_i = \nu \Delta u_i - \partial_i p, \qquad \operatorname{div} u = 0, 给定光滑、无散、且在无穷远处快速衰减的初始速度 u0u_0:是否存在具有全局有界动能的光滑解 (u,p)(u,p),对所有时刻 t≥0t \ge 0 均成立?还是光滑解可能在有限时间内产生奇点?

研究前沿 截至2026年

截至2026年,该问题在克雷提出的全部四种情形中仍完全未解决。已知弱(勒雷-霍普夫)解整体存在,部分正则性理论也限定了潜在奇点集合可能有多大,但既未证明全局光滑性,也未找到真正的爆破实例。条件正则性判据(如普罗迪-塞林、比尔-凯托-马吉达)表明,若解的某些范数保持有界,则光滑性随之成立,但目前无人能保证这一点。

已知最佳结果

  • 对于任意有限能量初始数据,勒雷-霍普夫弱解在时间上整体存在,但其唯一性和光滑性尚不清楚。
  • 卡法雷利-科恩-奈伦伯格(1982年):可能的奇点集合在时空中的抛物型豪斯多夫维数至多为1。
  • 条件正则性判据(普罗迪-塞林、比尔-凯托-马吉达)保证:若速度或涡度的某些范数保持有界,则解光滑,但这些界限是否先验成立尚不清楚。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
能量方法/勒雷-霍普夫弱解对有界能量的弱解给出时间整体存在性这些弱解的唯一性与光滑性尚不清楚
部分正则性理论(卡法雷利-科恩-奈伦伯格)限定了可能的奇点集合的大小并未完全排除奇点的存在,也未证明全局光滑性

尚未解决的问题

  • 从每一个光滑初始条件出发,是否对所有时间都存在光滑解,还是可能在有限时间内发生爆破?
  • 勒雷-霍普夫弱解是否唯一?

参考文献

  1. Charles L. Fefferman (Clay Mathematics Institute) (2000). Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation
  2. Jean Leray (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace
  3. Luis Caffarelli, Robert Kohn, Louis Nirenberg (1982). Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations