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未解决问题，算术与数论, 概率与统计，1909年提出

π 的正规性

未解决

π\pi 在 1010 进制下(或在每个整数进制 b≥2b \ge 2 下)是正规数吗——即在 π\pi 的 bb 进制展开中,每个长度为 kk 的有限数字块出现的渐近极限频率是否都等于 b−kb^{-k}?

研究前沿 截至2026年

截至2026年,π\pi 在任何进制 b≥2b \ge 2 下的正规性仍完全未解决。对 π\pi 超过 101410^{14} 位十进制数字的计算未发现短数字块频率偏离均匀频率 10−k10^{-k} 的显著统计迹象,而贝利–克兰德尔(2001年)框架将BBP型常数的 22 进制正规性归结为扰动倍增映射 xn=(2xn−1+rn) mod 1x_n = (2 x_{n-1} + r_n) \bmod 1 的均匀分布。尽管贝利与克兰德尔成功证明了分母呈稀疏增长的斯通汉姆型显式常数(如 α2,3=∑k=1∞13k23k\alpha_{2,3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3^k 2^{3^k}})的正规性,但 π\pi 的BBP级数中的一次分母多项式 8k+j8k+j 缺乏无条件估计外尔指数和所需的稀疏性。

已知最佳结果

  • 博雷尔(1909年):不满足在所有整数进制 b≥2b \ge 2 下皆正规的实数集合的勒贝格测度为 00。
  • 贝利与克兰德尔(2001年):若以 x0=0x_0 = 0 起始的序列 xn=(16xn−1+120n2−89n+16512n4−1024n3+712n2−206n+21) mod 1x_n = (16 x_{n-1} + \frac{120n^2 - 89n + 16}{512n^4 - 1024n^3 + 712n^2 - 206n + 21}) \bmod 1 在 [0,1)[0, 1) 上均匀分布,则 π\pi 在 22 进制与 1616 进制下是正规数。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
BBP数字提取公式与外尔均匀分布(贝利–克兰德尔)将 π\pi 的 1616 进制正规性转化为显式一维递推序列的均匀分布问题,并证明了稀疏BBP型常数的正规性对于 π\pi,扰动项 rn=O(n−2)r_n = O(n^{-2}) 非稀疏,在对Weyl和进行平均之前,迭代幂 16n−k16^{n-k} 便已将误差放大
数万亿位计算与统计随机性检验在超过 101410^{14} 位十进制与十六进制数字上验证了 π\pi 的数字及短数字块的经验均匀分布正规性是当 N→∞N \to \infty 时的渐近性质;任何有限前缀的数字既与正规性相容,也与完全不正规相容

尚未解决的问题

  • 在 π\pi 的十进制展开中,每个数字 0,1,…,90, 1, \dots, 9 是否都出现无穷多次?
  • 对于与 π\pi 关联的BBP递推序列,贝利–克兰德尔均匀分布假设是否成立?

参考文献

  1. Émile Borel (1909). Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques · DOI:10.1007/BF03019651
  2. David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants · DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9
  3. David H. Bailey, Richard E. Crandall (2001). On the random character of fundamental constant expansions · DOI:10.1080/10586458.2001.10504441
  4. Yann Bugeaud (2012). Distribution Modulo One and Diophantine Approximation · DOI:10.1017/CBO9781139017732