奇完全数

截至2026年,人们尚未发现任何奇完全数,它是否可能存在依然悬而未决。尽管尚无不存在性的直接证明,数学家已建立起任何假想奇完全数 $N$ 都必须满足的严密必要条件网:由欧拉定理,$N = q^k m^2$,其中 $q$ 是满足 $q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$ 且 $\gcd(q, m) = 1$ 的素数;$N > 10^{1500}$,且计入重数的素因子总数满足 $\Omega(N) \ge 101$(奥谢姆–拉奥,2012年);$N$ 至少有 $\omega(N) \ge 10$ 个不同素因子,若 $3 \nmid N$ 则 $\omega(N) \ge 15$(尼尔森,2015年);其最大素因子超过 $10^8$(后藤–大野,2008年),第二大素因子超过 $10^4$,最大素数幂分量超过 $10^{62}$。然而,$\sigma(p^a) = \prod_{d \mid (a+1), d>1} \Phi_d(p)$ 的分圆多项式分解同样适用于将某个素因子替换为合数拟素数的「伪奇完全数」(spoof)分解;既然笛卡尔的伪完全数 $198585576189$ 确实存在,如果不能动用素数更深刻的整体性质,纯粹局部的整除链推理就会受阻于这一「伪完全数壁垒」。