未解决问题，算术与数论，1734年提出

ζ(5) 与奇数处 zeta 值的无理性

未解决

$\zeta(5) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}$ 是无理数吗?更一般地,对所有整数 $k \ge 2$ , $\zeta(2k+1)$ 是否都是无理数(且为超越数)?

研究前沿截至2026年

截至2026年, $\zeta(3)$ 仍然是唯一被证明为无理数的具体奇数处 zeta 值,而 $\zeta(3)$ 是否为超越数以及 $\zeta(5)$ 是否为无理数仍未可知。对鲍尔–里瓦尔和祖季林超几何构造的改进,结合菲施勒–施普朗–祖季林(2019年)的消元技术,已给出 $\zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1)$ 中无理数个数的显式下界(例如在 $\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 中至少有 $2$ 个无理数),但目前尚无已知的线性型构造能在保持分母足够小的同时消去 $\zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 从而单独分离出 $\zeta(5)$ 。

已知最佳结果

鲍尔与里瓦尔(2001年):对奇数 $a \ge 3$ ,由 $1, \zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(a)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上张成的线性空间维数至少为 $\frac{1+o(1)}{1+\ln 2} \ln a$ 。
祖季林(2001年):四个数 $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 中至少有一个是无理数。
菲施勒、施普朗与祖季林(2019年):在 $\zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1)$ 中,至少有 $2^{(1-o(1)) \frac{\ln s}{\ln \ln s}}$ 个值是无理数。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
良平衡超几何级数与涅斯捷连科线性无关判别法(鲍尔–里瓦尔–祖季林)	构造出公分母受 $\mathrm{lcm}(1, 2, \dots, n)^d$ 控制的关于 $1, \zeta(3), \zeta(5), \dots, \zeta(2s+1)$ 的小线性型,证明了维数下界及祖季林四值定理	为消去 $\zeta(2), \zeta(4), \dots$ 所需的有理函数对称性迫使当仅保留 $1$ 与 $\zeta(5)$ 时,指数 $d$ (以及分母增长 $e^{dn}$ )超过了解析衰减速度
汉克尔行列式与全纯模/帕德方法(阿佩里–博伊克斯)	通过三重积分及权为 $2$ 和 $4$ 的模形式解释了 $\zeta(2)$ 与 $\zeta(3)$ 的阿佩里递推关系	对于 $\zeta(5)$ ,自然的 $5$ 重博伊克斯型积分具有算术分母 $\mathrm{lcm}(1, \dots, n)^5$ ,其增长速度超过了积分的几何收敛速度

尚未解决的问题

$\zeta(5)$ 是无理数吗?
$1, \pi, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \dots$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是否代数无关?

参考文献

Roger Apéry (1979). Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)
Keith Ball, Tanguy Rivoal (2001). Irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs · DOI:10.1007/s002220100168
Wadim Zudilin (2001). One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational · DOI:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
Stéphane Fischler, Johannes Sprang, Wadim Zudilin (2019). Many odd zeta values are irrational · DOI:10.1112/S0010437X1900722X · arXiv:1803.08905