未解决问题，概率与统计，1957年提出

三维渗流相变的连续性

未解决

考虑参数为 $p$ 的 $\mathbb{Z}^3$ 上伯努利边（或点）渗流，设 $\theta(p) = \mathbb{P}_p(0 \leftrightarrow \infty)$ 为原点属于无限开簇的概率，设 $p_c = \sup\{p : \theta(p) = 0\}$ 为临界概率。是否有 $\theta(p_c) = 0$ ，即渗流函数在 $p_c$ 处是否连续？

研究前沿截至2026年

截至2026年， $\theta$ 在 $p_c$ 处的连续性已在 $d = 2$ （凯斯滕，1980年及相关工作）以及借助蕾丝展开的 $d \ge 11$ （菲茨纳–范德霍夫斯塔德，2017年，精细化了原隆与斯莱德最初的 $d \ge 19$ 阈值）情形下得到证明。具有物理意义的 $d = 3$ （以及 $3 \le d \le 10$ 区间）仍未解决；2026年3月迪斯金、伊索、拉德哈克里希南、苏达科夫与塔西翁关于所有无限传递图超临界尖锐性的证明，解决了本雅米尼与施拉姆1996年提出的一个相关猜想，但正如论文自身讨论所强调的， $\mathbb{Z}^3$ 恰在 $p_c$ 处的行为依然悬而未决。

已知最佳结果

相变的连续性（ $\theta(p_c) = 0$ ）目前仅在 $d = 2$ （凯斯滕，1980年；哈里斯，1960年）与 $d \ge 11$ （菲茨纳–范德霍夫斯塔德，2017年，借助蕾丝展开）情形下得到严格证明；包括具有重要物理意义的 $d = 3$ 在内的 $3 \le d \le 10$ 情形仍未解决。
相变的尖锐性（ $p < p_c$ 时的指数衰减）在任意维数 $d$ 下均无条件成立（艾曾曼–巴尔斯基与门什科夫，1987年），超临界尖锐性现已在每个无限传递图上成立（迪斯金–伊索–拉德哈克里希南–苏达科夫–塔西翁，2026年），但这两个结果都未能确定 $\theta(p_c)$ 本身的取值。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
蕾丝展开（结合非回溯精细化）	对 $\mathbb{Z}^d$ （ $d \ge 11$ ）上的最近邻渗流严格证明了平均场临界指数与 $\theta$ 在 $p_c$ 处的连续性	当 $d \approx 10$ – $11$ 时，展开系数无法达到可求和意义上的足够小，因为低维格子存在过多短的自相交回路，使得微扰级数无法收敛
拉索–西摩–韦尔什（RSW）理论与平面对偶性	证明交叉概率估计，从而确定二维格子渗流的 $p_c = 1/2$ 及相变的连续性	本质上依赖于平面对偶性（开簇与闭簇之间的界面是曲线），在三维及更高维度中尚无已知类比

尚未解决的问题

$\mathbb{Z}^3$ 上伯努利边渗流是否满足 $\theta(p_c) = 0$ ？
蕾丝展开方法原则上能够推进到证明连续性的最小维数 $d$ 是多少？ $d = 6$ （猜想的上临界维数）是否为平均场行为与非平均场行为之间的真正分界线？

参考文献

Harry Kesten (1980). The critical probability of bond percolation on the square lattice equals 1/2 · DOI:10.1007/BF01221263
Michael Aizenman, David J. Barsky (1987). Sharpness of the phase transition in percolation models · DOI:10.1007/BF01212322
Robert Fitzner, Remco van der Hofstad (2017). Mean-field behavior for nearest-neighbor percolation in $d > 10$ · DOI:10.1214/17-EJP56 · arXiv:1506.07977
Sahar Diskin, Philip Easo, Ritvik Ramanan Radhakrishnan, Benny Sudakov, Vincent Tassion (2026). Supercritical percolation on all infinite transitive graphs · arXiv:2603.03257 [预印本,未经同行评审]