未解决问题，算术与数论, 代数学，1966年提出

沙努埃尔猜想

未解决

若 $z_1, z_2, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关,则域扩张 $\mathbb{Q}(z_1, \dots, z_n, e^{z_1}, \dots, e^{z_n})$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的超越次数至少为 $n$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,沙努埃尔猜想对所有 $n \ge 2$ 仍未解决。尽管其函数类似定理(阿克斯定理,1971年)已完全证明,并推广至志村簇与 o-极小几何(阿克斯–沙努埃尔型定理在此推动了安德烈–奥尔特猜想和齐尔伯–平克猜想的重大突破),但 $\mathbb{Q}$ 上的数论猜想依然遥不可及。当 $e^{z_1}, \dots, e^{z_n}$ 为代数数时,贝克定理(1966年)证明了 $z_1, \dots, z_n$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上线性无关(即超越次数 $\ge 1$ ),而沙努埃尔猜想要求 $z_1, \dots, z_n$ 代数无关(超越次数为 $n$ );甚至连作为 $n = 2$ 乘法推论的四指数猜想也尚未解决。

已知最佳结果

林德曼–魏尔斯特拉斯定理(1882/1885年):当 $z_1, \dots, z_n \in \overline{\mathbb{Q}}$ 为代数数时,沙努埃尔猜想成立。
六指数定理(兰、拉马钱德拉,20世纪60年代):若 $x_1, x_2$ 与 $y_1, y_2, y_3$ 各自在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关,则六个指数值 $e^{x_i y_j}$ 中至少有一个是超越数。
阿克斯定理(1971年):对形式幂级数 $y_1, \dots, y_n \in \mathbb{C}[[t_1, \dots, t_m]]$ ,沙努埃尔猜想的微分域类似定理成立。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
辅助多项式、插值行列式与重数估计(贝克–瓦尔德什密特–菲利蓬)	证明了贝克定理、六指数定理,以及由指数值 $e^{x_i y_j}$ 生成的域的超越次数下界(增长阶为 $\frac{mn}{m+n}$ )	西格尔引理中次数与高度的平衡只能给出与 $\frac{mn}{m+n}$ 而非 $n$ 成比例的超越次数界,甚至不足以证明四指数猜想( $m = n = 2$ )
微分代数与 o-极小几何(阿克斯–沙努埃尔方法)	由于微分 $\partial (e^y) = e^y \partial y$ 提供了基域 $\mathbb{C}$ 上的导子,因此对函数与幂级数完全证明了沙努埃尔不等式	有理数域 $\mathbb{Q}$ 上只有平凡导子 $\partial = 0$ ,因此微分代数证明无法特化到具体的复数值 $z_i \in \mathbb{C}$

尚未解决的问题

沙努埃尔猜想在 $n = 2$ 时是否成立,特别地, $\ln 2$ 与 $\ln 3$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是否代数无关?
四指数猜想是否成立:若 $x_1, x_2$ 与 $y_1, y_2$ 各自在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关,则四个数 $e^{x_i y_j}$ 中是否至少有一个是超越数?

参考文献

Serge Lang (1966). Introduction to Transcendental Numbers
James Ax (1971). On Schanuel's conjectures · DOI:10.2307/1970774
Michel Waldschmidt (2000). Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups · DOI:10.1007/978-3-662-11569-5