未解决问题，算术与数论，1904年提出

索菲·热尔曼素数无穷性猜想

未解决

存在无穷多个素数 $p$ ,使得 $2p+1$ 也是素数。

研究前沿截至2026年

截至2026年,索菲·热尔曼素数的无穷性仍完全未决。与孪生素数猜想一样,该问题要求两个线性形式( $n$ 与 $2n+1$ )同时取素数值。加权筛法证明了存在无穷多个素数 $p$ 使得 $2p+1$ 是至多有两个素因子的殆素数( $P_2$ ),且索菲·热尔曼素数的倒数之和收敛。然而,筛法理论中的奇偶性障碍阻止了现有方法区分 $2p+1$ 是素数还是两个素数的乘积。此外,由于线性形式 $n$ 与 $2n+1$ 的首项系数不同,梅纳德–陶哲轩的有界间隔方法无法直接给出精确形如 $(p, 2p+1)$ 的素数对。

已知最佳结果

存在无穷多个素数 $p$ ,使得 $2p+1$ 至多有两个素因子(通过加权线性筛法得到的陈氏型定理)。
筛法上界估计表明,不超过 $x$ 的索菲·热尔曼素数个数为 $O(x / (\log x)^2)$ ,与哈代–李特尔伍德启发式公式的量级一致。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
加权线性筛法(陈氏方法)	证明了存在无穷多个素数 $p$ ,使得 $2p+1$ 是素数或两个素数的乘积。	由于筛法理论中的奇偶性障碍,无法排除两个素数的乘积。
哈代–李特尔伍德圆法与素数元组启发式分析	精确预测了渐近计数 $2C_2 x / (\log x)^2$ ,并与高达 $10^{13}$ 及以上的数值统计高度吻合。	对于 $(p, 2p+1)$ 这类二元问题,无法无条件地控制劣弧上的指数和。

尚未解决的问题

索菲·热尔曼素数是否有无穷多个?其在 $x$ 以下的个数是否渐近等于 $2C_2 x / (\log x)^2$ ?
是否存在任意有限长度的第一类坎宁安链?

参考文献

Leonard E. Dickson (1904). A new extension of Dirichlet's theorem on prime numbers · DOI:10.1017/cbo9781139164986.005
G. H. Hardy, J. E. Littlewood (1923). Some problems of 'Partitio numerorum'; III: On the expression of a number as a sum of primes · DOI:10.1007/BF02403921
Paulo Ribenboim (1996). The New Book of Prime Number Records