未解决问题，组合数学与离散数学，1960年提出

埃尔德什–拉多向日葵猜想

未解决埃尔德什

对于任意整数 $r \ge 3$ ，存在仅依赖于 $r$ 的常数 $C_r > 0$ ，使得任意由基数至多为 $w$ 的集合构成且满足 $|\mathcal{F}| \ge C_r^w$ 的集族 $\mathcal{F}$ 必包含一个 $r$ -向日葵（或称 $\Delta$ -系统）——即存在 $r$ 个互异集合 $S_1, \dots, S_r \in \mathcal{F}$ ，其两两交集均等于同一个公共核 $K$ （对所有 $i \neq j$ 均有 $S_i \cap S_j = K$ ）。

提出者, 1960保罗·爱尔特希

研究前沿截至2026年

截至2026年， $w$ -一致集族上 $r$ -向日葵问题的最优已知上界为 $|\mathcal{F}| \ge (C r \log w)^w$ （贝尔–丘埃卢恰–瓦恩克，2021，继阿尔韦斯–洛维特–吴克文–张家鹏 2019 与拉奥 2020 之后）。该上界对更强的 $(1/r, 1/r)$ -近似（稳健）向日葵概念成立，而对稳健向日葵而言 $\log w$ 因子实际上是紧的。因此，即便在 $r = 3$ 情形下，若要消除剩余的 $\log w$ 因子以达到 $C_r^w$ ，也必须发展出能区分花瓣精确不相交与概率稳健不相交的新工具。

已知最佳结果

规模满足 $|\mathcal{F}| \ge (C r \log w)^w$ 的任意 $w$ 元集族必包含一个 $r$ -向日葵（阿尔韦斯–洛维特–吴克文–张家鹏，2019；拉奥，2020；贝尔–丘埃卢恰–瓦恩克，2021）。
$\{0, 1\}^n$ （或 $\mathbb{F}_3^n$ ）中的弱向日葵猜想已通过切片秩多项式方法证得指数上界 $c^n$ （ $c < 2$ ，纳斯伦德与萨温，2017）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
κ-分散集系与香农熵编码	将一般集族化归为 $\kappa$ -分散集族（即任意非空子集至多包含于 $\kappa^{-\|T\|} \|\mathcal{F}\|$ 个集合中），并证明密度为 $\frac{1}{2r}$ 的随机子集以接近 $1$ 的概率包含 $\mathcal{F}$ 中的元素，从而导出 $(C r \log w)^w$ 。	密度为 $\frac{1}{2r}$ 的随机集合若要以高概率覆盖 $w$ 元集，分散参数必须满足 $\kappa = \Omega(r \log w)$ ，这使得 $\log w$ 因子对稳健向日葵而言不可避免。
切片秩多项式方法	在基础集规模 $n$ 固定时，对 $\{0, 1\}^n$ 中不含向日葵的子集族证明了指数上界 $(3 / 2^{2/3})^n \approx 1.8899^n$ 。	所得上界随背景全集规模 $n$ 而非集合大小 $w$ 呈指数增长，因此在 $n \gg w$ 时失效。

尚未解决的问题

是否存在绝对常数 $C_3 > 0$ ，使得规模至少为 $C_3^w$ 的任意 $w$ 元集族都包含一个 $3$ -向日葵？
当固定 $r = 3$ 时，能否将上界 $(C r \log w)^w$ 改进为 $C_r^w (\log w)^{o(w)}$ ？

参考文献

Paul Erdős, Richard Rado (1960). Intersection theorems for systems of sets · DOI:10.1112/jlms/s1-35.1.85
Ryan Alweiss, Shachar Lovett, Kewen Wu, Jiapeng Zhang (2021). Improved bounds for the sunflower lemma · DOI:10.4007/annals.2021.194.3.5 · arXiv:1908.08483