未解决问题，算术与数论, 几何学，1963年提出

塔特猜想

未解决

设 $X$ 为域 $k$ （在其素域上有限生成）上的光滑射影簇，固定素数 $\ell \ne \operatorname{char}(k)$ 。由 $\mathbb{Q}_\ell$ 系数代数闭链映到伽罗瓦不变 $\ell$ -进上同调类的闭链类映射 $\bigoplus_{r} \left(\operatorname{CH}^r(X) \otimes \mathbb{Q}_\ell\right) \to \bigoplus_r H^{2r}_{\mathrm{et}}(X_{\bar{k}}, \mathbb{Q}_\ell(r))^{\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)}$ 是否满射？

研究前沿截至2026年

截至2026年，塔特猜想已在有限域（塔特，1966年）与数域（法尔廷斯，1983年）上阿贝尔簇的因子上得到证明，也在特征 $p \ne 2$ 的有限域（尼加德–奥格斯、马达普西·佩拉、夏尔、莫利克，2012–2014年）与特征为0（安德烈，1996年；坦克耶夫）的 K3 曲面因子上得到证明。但对一般阿贝尔簇上更高余维的闭链，以及维数超过2的大多数光滑射影簇，该猜想仍未解决。

已知最佳结果

已在有限域（塔特，1966年）与数域（法尔廷斯，1983年，通过支撑莫德尔猜想的有限性定理）上阿贝尔簇的因子上得到证明。
已在奇特征有限域上 K3 曲面的因子（尼加德、奥格斯、夏尔、马达普西·佩拉、莫利克，2012–2014年）以及数域与 $\mathbb{C}$ 上（安德烈，1996年，利用久贺–佐武对应）得到证明。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
同源类有限性定理与法尔廷斯高度	通过界定固定同源类中同源阿贝尔簇的高度，证明了有限生成域上阿贝尔簇的塔特猜想	依赖于阿贝尔簇特有的群结构与模空间理论，对一般簇上更高余维的闭链尚无已知类比
久贺–佐武对应与晶体托雷利定理	通过将 K3 格嵌入辅助阿贝尔簇的上同调，将 K3 曲面的塔特猜想归约为已知的阿贝尔簇情形	仅适用于 K3 曲面秩22、权2的霍奇结构；对一般更高权重的上同调，尚无已知的类似辅助阿贝尔簇构造

尚未解决的问题

塔特猜想是否对有限域上任意光滑射影曲面（不局限于阿贝尔曲面与 K3 曲面）的因子成立？
塔特猜想对维数 $\ge 4$ 的阿贝尔簇上更高余维的代数闭链是否成立？

参考文献

John Tate (1965). Algebraic cycles and poles of zeta functions
John Tate (1966). Endomorphisms of abelian varieties over finite fields · DOI:10.1007/BF01404549
Gerd Faltings (1983). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern · DOI:10.1007/BF01388432
Keerthi Madapusi Pera (2015). The Tate conjecture for K3 surfaces in odd characteristic · DOI:10.1007/s00222-014-0557-5