未解决问题，拓扑学，1997年提出

体积猜想（纽结理论）

未解决

对任意纽结 $K \subset S^3$ ，设 $J_N(K; q)$ 为其归一化的 $N$ -染色琼斯多项式（满足 $J_N(\text{unknot}; q) = 1$ ）。则有 $\lim_{N \to \infty} \frac{2\pi}{N} \log \left| J_N\!\left(K; e^{2\pi i / N}\right) \right| = \operatorname{Vol}(S^3 \setminus K) = v_3 \|S^3 \setminus K\|$ ，其中 $v_3 \approx 1.0149416$ 是正则理想双曲四面体的体积， $\|S^3 \setminus K\|$ 是纽结补空间的格罗莫夫单纯体积（当 $K$ 为双曲纽结时即等于其双曲体积）。

研究前沿截至2026年

截至2026年，卡沙耶夫-村上-村上体积猜想在一般情形下仍未解决，但已对若干显式纽结与链环族获证。已有严格证明的情形包括：8字纽结 $4_1$ 、环面纽结、交叉数不超过 $7$ 的双曲纽结（大槻知忠，2016–2018年）、非平凡环面纽结的怀特黑德加倍（郑浩，2007年）、博罗梅奥环，以及特定类型的扭转纽结和基本阴影链环。对于一般的双曲纽结，核心困难在于如何控制含多个复变量的振荡状态和，以便在应用鞍点法时排除伪临界点对积分的主导影响。

已知最佳结果

已对8字纽结 $4_1$ 、所有环面纽结、所有交叉数 $\le 7$ 的双曲纽结（大槻知忠）、 $(2,p)$ 环面纽结的怀特黑德加倍（郑浩）以及基本阴影链环严格证明。
针对 $q = e^{2\pi i/r}$ （ $r$ 为奇数）处图拉耶夫-维罗不变量的陈-杨体积猜想，已对基本阴影链环、八面体链环以及系数充分大的德恩填充获证（贝莱蒂、德切里、卡尔法贾尼、杨天）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
泊松求和公式与多维鞍点法（横田佳之、安德森-汉森、大槻知忠）	将 $J_N(K; e^{2\pi i/N})$ 的状态和转化为法捷耶夫量子双对数函数的围道积分（其临界点满足瑟斯顿双曲粘合方程），从而对交叉数不超过 $7$ 的纽结证明了该猜想及完整渐近展开	对于交叉数更多的投影图，若要将积分围道变形使其仅穿过几何鞍点而不跨越极点或实部更大的临界点，必须针对具体纽结逐一进行凸包与黑塞矩阵分析
量子 $A$ -多项式与AJ猜想（加鲁法利迪斯、黎自国胜）	证明序列 $J_N(K; q)$ 具有 $q$ -全纯性，并将其递推算子在 $q \to 1$ 极限下与经典 $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ 特征标簇及 $K$ 的 $A$ -多项式联系起来	虽能通过特征标簇上的体积调节子确定潜在的指数增长率集合，但本身无法判定在 $q = e^{2\pi i/N}$ 处究竟哪一分支占主导地位

尚未解决的问题

体积猜想对 $S^3$ 中的所有双曲纽结与双曲链环是否均成立？
对于格罗莫夫单纯体积严格为正的卫星纽结， $\frac{2\pi}{N}\log|J_N(K; e^{2\pi i/N})|$ 是否总是收敛到 $v_3 \|S^3 \setminus K\|$ ？

参考文献

Rinat M. Kashaev (1997). The hyperbolic volume of knots from the quantum dilogarithm · DOI:10.1023/A:1007364912784 · arXiv:q-alg/9601025v1
Hitoshi Murakami, Jun Murakami (2001). The colored Jones polynomials and the simplicial volume of a knot · DOI:10.1007/BF02392716 · arXiv:math/9905075v2
Hitoshi Murakami, Yoshiyuki Yokota (2018). An Introduction to the Volume Conjecture · DOI:10.1007/978-981-13-1150-5