未解决问题，数学物理, 分析学，2000年提出

杨-米尔斯存在性与质量间隙

未解决千禧年

证明:对于任意紧单规范群 $G$ ,在 $\mathbb{R}^4$ 上存在满足构造性量子场论怀特曼公理(或奥斯特瓦尔德-施拉德公理)的非平凡量子杨-米尔斯理论,并且哈密顿算子 $H$ 的谱具有严格为正的质量间隙 $\Delta > 0$ ——即在真空能量 $0$ 之上的开区间 $(0, \Delta)$ 内 $H$ 没有谱。

研究前沿截至2026年

截至2026年,四维杨-米尔斯存在性与质量间隙问题依然悬而未决。在紫外(短距离)方向,塔德乌什·巴拉班于20世纪80年代开展的重整化群计划,在格点间距 $a \to 0$ 时建立了有限四维格点环面上有效作用量的一致界;同时,利用正则性结构与副控制演算的现代随机量子化方法(海勒、钱德拉、切维廖夫、沈)已清晰地构造出二维和三维规范场的局部朗之万动力学。在红外(长距离)方向,威尔逊格点规范理论在强耦合区域(裸耦合常数 $g$ 较大)严格证明了关联函数的指数衰减(从而给出质量间隙)以及威尔逊圈的面积律。目前缺失的是连接两者的桥梁:取连续极限 $a \to 0$ 时,渐近自由要求裸耦合常数 $g(a) \to 0$ ,这会走出集团展开收敛的强耦合区域,而在四维情形下,如何跨越从弱耦合到强耦合的过渡区并严格控制其红外行为,至今尚未实现。

已知最佳结果

通过多尺度重整化群证明有限环面上四维格点杨-米尔斯理论的紫外稳定性(巴拉班,1984–1989年)。
利用集团展开严格证明强裸耦合下四维格点杨-米尔斯理论具有正质量间隙与威尔逊圈面积律(奥斯特瓦尔德-塞勒,1978年)。
利用正则性结构构造二维与三维杨-米尔斯理论的规范协变朗之万(随机量子化)动力学(钱德拉–切维廖夫–海勒–沈,2022–2024年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
格点规范理论与强耦合集团展开	将定义不严格的连续路径积分替换为格点边上群元的有限维积分,并在裸耦合常数 $g$ 较大时证明了禁闭和正质量间隙。	在四维中取连续极限 $a \to 0$ 需要令 $g(a) \to 0$ (渐近自由),这会走出强耦合展开的收敛半径。
多尺度重整化群(巴拉班块自旋计划)	在较小的有限四维体积上控制了 $a \to 0$ 时的紫外奇性,证明了独立于格点间距的稳定性界。	仅在跑动耦合保持较小时(短物理尺度)有效;当尺度增长到接近禁闭长度时,跑动耦合变大,微扰重整化步骤随之失效。
随机量子化与正则性结构	以规范协变的方式构造出二维和三维杨-米尔斯测度的奇异随机偏微分方程(帕里西-吴朗之万方程)。	在四维中,杨-米尔斯方程处于标度临界状态(而非次临界),正则性结构理论在此触及临界壁垒,且通过时间全局控制获得具有谱间隙的不变测度仍遥不可及。

尚未解决的问题

能否构造出一种非微扰重整化群流,将四维格点杨-米尔斯理论从格点尺度的弱耦合一路追踪到禁闭尺度的强耦合区域?
能否先在耦合常数超可重整化的、更简单的三维非阿贝尔杨-米尔斯理论中建立连续极限与质量间隙?

参考文献

Chen Ning Yang, Robert L. Mills (1954). Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance · DOI:10.1103/physrev.96.191
Arthur Jaffe, Edward Witten (Clay Mathematics Institute) (2000). Quantum Yang–Mills theory
Kenneth G. Wilson (1974). Confinement of quarks · DOI:10.1103/physrevd.10.2445
Sourav Chatterjee (2019). Yang–Mills for probabilists · arXiv:1803.01950