花拉子米的配方作图法

画一个边长为 $x$ 的正方形，其面积为 $x^2$，是 $x^2+bx=c$ 的第一项。在该正方形的两条相邻边上各附加一个宽为 $b/2$、长为 $x$ 的细长矩形，二者面积之和为 $2\cdot\tfrac b2\cdot x=bx$，正是第二项。这样得到的L形图形（“折尺形”）面积为 $x^2+bx=c$。

这个折尺形其实就是边长为 $x+b/2$ 的大正方形缺了一个 $\tfrac b2\times\tfrac b2$ 的小角。事实上，两个矩形与原正方形恰好在它们相接的外角处留下一个 $(b/2)\times(b/2)$ 的空缺。把这个空缺补上：折尺形加上这个角上的小正方形，整体就成为一个边长为 $x+b/2$ 的真正正方形，其面积因此等于 $c+(b/2)^2$（折尺形面积 $c$ 恰好加一次角上小正方形面积 $(b/2)^2$）。

于是 $(x+\tfrac b2)^2=c+\left(\tfrac b2\right)^2$。两边取正平方根（边长为正）得 $x+\dfrac b2=\sqrt{c+\left(\dfrac b2\right)^2}$，解出 $x$ 即为 $x=\sqrt{c+\left(\dfrac b2\right)^2}-\dfrac b2$。

代数验证：逐项展开 $\left(\sqrt{c+(b/2)^2}-b/2\right)^2+b\left(\sqrt{c+(b/2)^2}-b/2\right)$，交叉项 $\pm b\sqrt{c+(b/2)^2}\,b/2$ 相消后恰好化简为 $c$——这独立于图形验证了公式。取数值例 $x^2+10x=39$（即 $b=10,c=39$）：$x=\sqrt{39+25}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3$，确实 $3^2+10\cdot3=9+30=39$。