定理已证明

AM–GM不等式(两数)

命题陈述

对所有实数 $a\ge 0$ 、 $b\ge 0$ ,都有 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ ,等号当且仅当 $a=b$ 时成立。

为什么成立?

算术平均 $\frac{a+b}{2}$ 对"分散"的数比较宽容,而几何平均 $\sqrt{ab}$ 则会惩罚分散:两个相差很大的数相乘,得到的"典型大小"比相加再除以二要小。

证明思路

从一个恒真事实出发:实数的平方永远非负。将其应用于 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ (由于 $a,b\ge 0$ 它是实数): $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 。

用 $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$ (取 $u=\sqrt a$ 、 $v=\sqrt b$ )展开,得到 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ ,即 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$ 。

两边加上 $2\sqrt{ab}$ ,再两边同除以 $2$ (正数,方向不变),得到 $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$ ,这正是 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 。

等号成立当且仅当第一步为等号,即 $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$ ,这恰好在 $\sqrt a=\sqrt b$ ,即 $a=b$ 时成立。

用到此定理的主题

分步证明

该定理暂无分步证明。