每个原函数都具有 $F(x)+C$ 的形式

对 $x\in K$ 定义 $H(x) = G(x) - F(x)$。因为 $F$ 与 $G$ 都是 $f$ 的原函数，故对每个 $x\in K$ 都有 $H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x)=0$：$H$ 在 $K$ 上可导，且导数恒为零。

在 $K$ 中任取两点 $x_1 < x_2$（这是可行的，因为 $K$ 是一个区间，故整段 $[x_1,x_2]$ 都包含在 $K$ 内）。$H$ 在 $[x_1,x_2]$ 上可导，因而连续，于是中值定理（拉格朗日）适用：存在 $\xi\in(x_1,x_2)$，利用 $H'(\xi)=0$ 得 $H(x_2)-H(x_1) = H'(\xi)(x_2-x_1) = 0$。

因此对 $K$ 中任意一对 $x_1<x_2$ 都有 $H(x_2)=H(x_1)$：$H$ 在 $K$ 上处处取相同的值，设该值为 $H(x)=C$（对所有 $x\in K$）。代回原式得 $G(x)-F(x)=C$，即 $G(x) = F(x) + C$，这正是所要证明的结论。