定理已证明

比值判别法求收敛半径

命题陈述

对幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$ ,设 $L = \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ 存在(为有限数或 $+\infty$ )。那么收敛半径为 $R = \dfrac{1}{L}$ ,并约定当 $L=0$ 时 $R = \infty$ ,当 $L=\infty$ 时 $R = 0$ 。

为什么成立?

比值判别法把级数的相邻项与几何级数作比较:若相邻项之比的绝对值最终小于1,该级数的表现就如同一个收敛的几何级数,和为有限值。

证明思路

固定 $x \neq c$ ,对数项级数 $\sum b_n$ 的项 $b_n = a_n(x-c)^n$ 应用比值判别法。计算

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x-c| = L\,|x-c|$ 。

由数项级数的比值判别法,当 $L|x-c| < 1$ ,即 $|x-c| < 1/L$ 时, $\sum b_n$ 绝对收敛;当 $L|x-c| > 1$ ,即 $|x-c| > 1/L$ 时发散。因此对满足 $|x-c| < 1/L$ 的一切 $x$ 级数绝对收敛,对满足 $|x-c| > 1/L$ 的一切 $x$ 级数发散。

这恰好就是收敛半径的定义:使级数对一切 $|x-c| < R$ 都收敛的最大 $R$ 。于是 $R = 1/L$ 。边界情形 $L=0$ (比值总是趋于0,故对一切 $x$ 收敛,得 $R=\infty$ )与 $L=\infty$ (对任意 $x \neq c$ 比值发散,故只在 $x=c$ 处收敛,得 $R=0$ )由同样的论证取相应极限即可得到。

用到此定理的主题

幂级数与泰勒级数

分步证明

该定理暂无分步证明。