柯西–施瓦茨不等式

第1步:构造辅助二次式。 考虑实变量 $t$ 和表达式 $\sum_{i=1}^n (a_i t - b_i)^2$。由于它是实数平方和,对任意实数 $t$ 恒有 $\ge 0$:$\sum(a_i t - b_i)^2 \ge 0$。

**第2步:展开为关于 $t$ 的二次式。** 展开得 $\sum (a_i t - b_i)^2 = t^2 \sum a_i^2 - 2t \sum a_i b_i + \sum b_i^2$。记 $A = \sum a_i^2$,$B = \sum a_i b_i$,$C = \sum b_i^2$,则表达式为对任意实数 $t$ 有 $At^2 - 2Bt + C \ge 0$。

第3步:处理退化情形。 若 $A = 0$,则所有 $a_i = 0$,于是待证不等式 $B^2 \le AC$ 两边都是 $0$,不等式平凡成立(取等)。

**第4步:当 $A > 0$ 时用判别式。** 首项系数 $A$ 为正的二次式 $At^2 - 2Bt + C$ 若对每个实数 $t$ 都 $\ge 0$,则它至多有一个实根,故判别式不能为正:$(2B)^2 - 4AC \le 0$,即 $4B^2 \le 4AC$,即 $B^2 \le AC$。

第5步:结论。 代回得 $\left(\sum a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$,这正是 $\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \ge \left(\sum a_i b_i\right)^2$。等号成立恰好当判别式为零,即二次式有实重根 $t_0$,即对每个 $i$ 都有 $a_i t_0 = b_i$——数列 $(a_i)$ 与 $(b_i)$ 成比例。