舒尔不等式($r=1$)

第1步:利用对称性化简。 式 $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)$ 关于 $a,b,c$ 对称,故不失一般性设 $a \ge b \ge c \ge 0$。

第2步:合并前两项。 合并 $a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)\big[a(a-c) - b(b-c)\big]$,从两项中提出公因子 $(a-b)$(注意 $b(b-a)(b-c) = -(a-b)\cdot b(b-c)$)。

第3步:化简括号内。 展开 $a(a-c) - b(b-c) = a^2 - ac - b^2 + bc = (a^2-b^2) - c(a-b) = (a-b)(a+b) - c(a-b) = (a-b)(a+b-c)$。

第4步:合并。 代回,合并的项等于 $(a-b)\cdot(a-b)(a+b-c) = (a-b)^2(a+b-c)$。于是整个表达式等于 $(a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c)$(最后一项正是原来的第三项,未变)。

第5步:逐项判号。 因为 $a \ge b \ge c \ge 0$:恒有 $(a-b)^2 \ge 0$。关于 $a+b-c$ 的符号:由 $a \ge c$ 得 $a - c \ge 0$,又 $b \ge 0$,故 $a+b-c = (a-c)+b \ge 0$。因此 $(a-b)^2(a+b-c) \ge 0$。对第二部分:$c \ge 0$,$a-c \ge 0$(因 $a\ge c$),$b - c \ge 0$(因 $b \ge c$),故 $c(a-c)(b-c) \ge 0$ 是三个非负数之积。

第6步:结论。 整个表达式是两个非负项之和,$(a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c) \ge 0$,证明了 $r=1$ 时的舒尔不等式。取等要求两部分都为零:或 $a=b$(使第一项为 $0$)且 $c(a-c)(b-c)=0$(若再有 $a=c$ 则 $a=b=c$;若 $c=0$ 则 $a=b, c=0$),与所述取等条件相符。