定理已证明

三角不等式(实数情形)

命题陈述

对所有实数 $a$ 、 $b$ , $|a+b| \le |a|+|b|$ 成立,其中 $|x|$ 表示绝对值;等号成立当且仅当 $a$ 、 $b$ 同号(或其中一个为 $0$ )。

为什么成立?

绝对值衡量到零的距离;两个异号数相加会发生抵消,所以和的距离只会小于等于各自距离之和。

证明思路

根据绝对值的定义,每个实数 $x$ 都满足 $-|x|\le x\le |x|$ 。将其分别用于 $a$ 、 $b$ : $-|a|\le a\le |a|$ 与 $-|b|\le b\le |b|$ 。

将这两条不等式链逐项相加(加法保持方向,故可行): $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$ 。

对 $M\ge 0$ ,命题 $-(M)\le y\le M$ 依绝对值定义恰好等价于 $|y|\le M$ ;这里 $y=a+b$ 、 $M=|a|+|b|$ ,于是 $|a+b|\le |a|+|b|$ ,即 $|a+b| \le |a|+|b|$ 。

等号成立要求两条链同时取等号,这迫使 $a$ 、 $b$ 同号(同为非负或同为非正),因为只有此时 $a$ 与 $b$ 之间才不发生抵消。

用到此定理的主题

分步证明

该定理暂无分步证明。