贝叶斯定理

由条件概率的定义，当 $\mathbb{P}(B) > 0$ 时有 $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$，对称地，当 $\mathbb{P}(A) > 0$ 时有 $\mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$。消去 $\mathbb{P}(A \cap B)$ 可得 $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)$，两边同除以 $\mathbb{P}(B)$ 即得 $\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(B \mid A)\,\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$。若 $A_1, \dots, A_k$ 划分样本空间，则由全概率公式可将分母展开为 $\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(B \mid A_i)\,\mathbb{P}(A_i)$。