Beta-二项共轭性

在给定 $\theta$ 时,$n$ 次试验中观测到 $k$ 次成功的似然为 $L(k\mid\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k}$。由上面的后验比例定理,$\pi(\theta\mid k)\propto L(k\mid\theta)\pi(\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k}\cdot\dfrac{\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$。

因子 $\binom{n}{k}$ 与 $B(\alpha,\beta)$ 不依赖于 $\theta$,故可并入比例常数:$\pi(\theta\mid k)\propto\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}\cdot\theta^{\alpha-1}(1-\theta)^{\beta-1}=\theta^{(\alpha+k)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-k)-1}$。

这最后一个表达式恰好就是 $\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$ 密度的核($\theta$ 相关的部分)。由于在 $(0,1)$ 上具有该核的概率密度只有唯一的归一化常数(根据 Beta 函数的定义,即 $1/B(\alpha+k,\beta+n-k)$),后验必然恰好是 $\pi(\theta\mid k)=\dfrac{\theta^{(\alpha+k)-1}(1-\theta)^{(\beta+n-k)-1}}{B(\alpha+k,\beta+n-k)}$,即 $\theta\mid k\sim\mathrm{Beta}(\alpha+k,\beta+n-k)$。