布雷尼耶定理

（概要，遵循 Brenier 1991。）第一步：对 $c=|x-y|^2$ 的坎托罗维奇对偶性使我们可以通过 $\varphi(x)=\tfrac12|x|^2-\tilde\varphi(x)$ 重写最优势函数，使 $\varphi$ 为凸函数，其勒让德变换 $\varphi^*(y)=\sup_x(x\cdot y-\varphi(x))$ 扮演第二个势函数的角色；对偶约束在最优 $\gamma$ 的支撑集上恰好变为 $y\in\partial\varphi(x)$。第二步：罗克费拉定理指出，$\mathbb R^n\times\mathbb R^n$ 中任何循环单调子集都包含在某个凸下半连续函数 $\varphi$ 的次微分 $\partial\varphi$ 的图像中；最优方案的支撑集是循环单调的，因为 $\gamma$ 使 $\int|x-y|^2\,d\gamma$ 极小化，故支撑集上有限对之间的任何重新配对都不能严格降低 $\sum_i|x_i-y_i|^2$。第三步：由于 $\mu\ll$ 勒贝格测度，由亚历山德罗夫定理，$\varphi$ 在 $\mu$-几乎处处可微，因此 $\gamma$ 集中在图像 $\{(x,\nabla\varphi(x))\}$ 上，即 $\gamma=(\mathrm{id},\nabla\varphi)_{\#}\mu$。这给出了一个确定性的最优映射 $T=\nabla\varphi$，因此它也解决了蒙日问题，并且由代价的严格凸性，任何其他最优映射都必须在 $\mu$-几乎处处与之一致。