切比雪夫界：θ(n) < (log 4) n

对 $n$ 用强归纳法。基础情形 $n=1,2$ 显然：$\theta(1)=0$，$\theta(2)=\log 2 < \log 4$。

归纳步骤中，假设该界对所有小于 $n$ 的正整数成立。若 $n>2$ 为偶数，则 $n$ 不是质数，对 $n-1$ 用归纳假设得 $\theta(n)=\theta(n-1) < (\log4)(n-1) < (\log4)n$。

若 $n=2m+1$ 为奇数，考虑系数 $\binom{2m+1}{m}=\dfrac{(2m+1)!}{m!\,(m+1)!}$。它在 $(1+1)^{2m+1}$ 二项展开的 $2^{2m+1}$ 项中出现两次（一次为 $\binom{2m+1}{m}$，一次为 $\binom{2m+1}{m+1}$，二者相等），故 $2\binom{2m+1}{m} \le 2^{2m+1}$，即 $\binom{2m+1}{m} \le 4^m$。

每个满足 $m+1 < p \le 2m+1$ 的质数 $p$ 整除分子 $(2m+1)!$，但不整除 $m!$ 或 $(m+1)!$（因为 $p>m+1$），故 $p$ 整除 $\binom{2m+1}{m}$。因此所有这样的质数之积整除 $\binom{2m+1}{m}$，得 $\prod_{m+1<p\le 2m+1} p \le \binom{2m+1}{m} \le 4^m$，即 $\theta(2m+1)-\theta(m+1) \le (\log 4)\,m$。

对 $m+1<n$ 用归纳假设得 $\theta(m+1) < (\log4)(m+1)$。相加得 $\theta(n)=\theta(2m+1) < (\log4)(m+1) + (\log4)m = (\log4)(2m+1) = (\log4)n$，归纳完成。