存在无理数 $a,b$ 使 $a^b$ 为有理数——古典与构造

古典(非构造性)证明。 考虑 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$。由排中律,要么 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}$ 要么 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}$——我们不需要知道是哪一种。

情形1: 若 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \in \mathbb{Q}$,取 $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, b = \sqrt{2}$:两者都是无理数($\sqrt{2}$ 是无理数,由 $p/q=\sqrt 2$ 中 $p,q$ 奇偶性的经典反证法可得),而根据本情形假设 $a^b = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 是有理数。得证。

情形2: 若 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin \mathbb{Q}$,取 $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$(由本情形假设为无理数)与 $b = \sqrt{2}$(无理数)。则 $a^b = 2$:$a^b = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2$。因为 $2 \in \mathbb{Q}$,得证。

无论哪种情形,我们都给出了无理数 $a,b$ 使 $a^b \in \mathbb{Q}$——但证明从未告诉我们哪种情形成立,即 $\sqrt{2}^{\sqrt 2}$ 本身是有理数还是无理数。形式主义者立即接受这一点(这是古典一阶逻辑中有效的推导);直觉主义者拒绝将其视为真正的存在性证明,因为它没有产生一个明确的单一 $(a,b)$ 组以及证明正是这一组可行的证明。

构造性证明(消除分情形)。 取 $a = \sqrt{2}$ 及 $b = \log_2 9$。两者都是无理数:$\sqrt 2$ 无理性如上;$\log_2 9$ 无理是因为若 $\log_2 9 = p/q$(最简分数,$q>0$)则 $2^{p/q}=9$,于是 $2^p = 9^q$,但左边是 $2$ 的幂而右边是 $3$ 的幂(当 $q \ge 1$ 时 $9^q$ 只有素因子 $3$),迫使 $p=q=0$,与 $9^q=2^p>1$ 矛盾。

现在显式计算:$a^b = \sqrt{2}^{\log_2 9} = 2^{\frac{1}{2}\log_2 9} = 2^{\log_2 3} = 3$,利用 $\sqrt{2} = 2^{1/2}$,故 $a = \sqrt{2}, b = \log_2 9$ 给出 $a^b = (2^{1/2})^{\log_2 9} = 2^{\frac{1}{2}\log_2 9} = 2^{\log_2 3} = 3 \in \mathbb{Q}$。

这次没有分情形,没有未解决的析取——证明1中原本悬而未决的问题(即 $\sqrt2^{\sqrt2}$ 是否有理?)被完全绕开,任何直觉主义者都接受组 $(\sqrt{2}, \log_2 9)$ 为真正的见证。(历史注记:Gelfond–Schneider(1934年)后来证明 $\sqrt{2}^{\sqrt 2}$ 实际上是无理数——实际上是超越数——从而确定情形2为"真实"的一种,但上述古典证明不需要这样一个深刻定理。)