紧致集合的连续像是紧致的

第一步 — 拉回 $f(K)$ 的任意开覆盖。设 $\{V_i\}_{i \in I}$ 是 $Y$ 中覆盖 $f(K)$ 的任意开集族,即 $f(K) \subseteq \bigcup_i V_i$。由于 $f$ 连续,每个 $f^{-1}(V_i)$ 在 $X$ 中是开的。对每个 $x \in K$,$f(x) \in f(K)$ 落在某个 $V_i$ 中,故 $x \in f^{-1}(V_i)$;因此 $\{f^{-1}(V_i)\}_{i \in I}$ 是 $K$ 的一个开覆盖。

第二步 — 利用 $K$ 的紧致性提取有限子覆盖。由于 $K$ 紧致,这些集合中有限多个已经覆盖 $K$:存在 $i_1, \dots, i_n$ 使得 $K \subseteq f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})$。

第三步 — 将有限子覆盖向前推。对两边应用 $f$,得 $f(K) \subseteq f\big(f^{-1}(V_{i_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{i_n})\big) \subseteq V_{i_1} \cup \dots \cup V_{i_n}$(始终有 $f(f^{-1}(V)) \subseteq V$)。故 $\{V_{i_1}, \dots, V_{i_n}\}$ 是取自原覆盖的 $f(K)$ 的有限子覆盖。由于 $\{V_i\}$ 是任意的,$f(K)$ 紧致。

第四步 — 推论:豪斯多夫空间的紧致子集是闭集。设 $K \subseteq Y$ 紧致,$Y$ 为豪斯多夫空间,任取 $y \notin K$。对每个 $x \in K$,由豪斯多夫分离性得不相交的开集 $U_x \ni x$ 与 $W_x \ni y$。集合 $\{U_x\}_{x \in K}$ 覆盖 $K$,由紧致性,有限个 $U_{x_1}, \dots, U_{x_n}$ 已覆盖 $K$。此时 $W = W_{x_1} \cap \dots \cap W_{x_n}$ 是有限个开集的交(因而是开集),包含 $y$,且与每个 $U_{x_j}$ 不相交,因而与 $K \subseteq \bigcup_j U_{x_j}$ 不相交。于是 $K$ 外的每一点都有一个与 $K$ 不相交的开邻域:$K$ 的补集是开的,即 $K$ 是闭集。