连通空间的连续像是连通的(一般介值定理)

第一步 — 反设 $f(X)$ 不连通。则 $f(X) = A \cup B$,其中 $A, B$ 不相交且非空,each 在 $f(X)$ 的子空间拓扑中都是开的:存在 $Y$ 中的开集 $A', B'$,使 $A = f(X) \cap A'$,$B = f(X) \cap B'$。

第二步 — 将分离拉回到 $X$。令 $P = f^{-1}(A')$,$Q = f^{-1}(B')$。由于 $f$ 连续,$P$ 与 $Q$ 在 $X$ 中是开的。对每个 $x \in X$,$f(x) \in f(X) = A \cup B$,故 $f(x) \in A'$ 或 $f(x) \in B'$,即 $x \in P$ 或 $x \in Q$:因此 $X = P \cup Q$。又 $P$ 与 $Q$ 均非空(因 $A, B$ 非空且被 $f$ 取到),且 $P \cap Q = \emptyset$(若 $x \in P \cap Q$,则 $f(x) \in A' \cap B' \cap f(X) = A \cap B = \emptyset$,矛盾)。

第三步 — 矛盾。$P$ 与 $Q$ 是满足 $X = P \cup Q$ 的不相交非空开集,这恰好是 $X$ 不连通的定义。这与 $X$ 连通的假设矛盾。故 $f(X)$ 不可能不连通:它是连通的。

第四步 — 区间推论。$\mathbb{R}$ 的连通子集恰好就是区间(一个标准事实:任何跳过其两点之间某个实数的子集,都会通过同样的开集分离失去连通性)。由第一至三步,$f(X)$ 连通,故 $f(X)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个区间,因此它包含任意两个元素 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每一个实数——经典的介值定理,现在被看作一个纯粹拓扑事实的特殊情形。