投射消解的比较定理

第一步（逐次数提升恒等映射）。归纳地构造 $f_n: P_n \to Q_n$。当 $n=0$ 时：由于 $P_0$ 是投射的且 $Q_0 \to M$ 是满射，映射 $P_0 \to M$ 可经由 $Q_0 \to M$ 提升，得到 $f_0: P_0 \to Q_0$。归纳地，假设已构造出满足 $d f_{n-1} = f_{n-2} d$（当 $n=1$ 时为增广映射）的 $f_{n-1}$，复合 $P_n \xrightarrow{d} P_{n-1} \xrightarrow{f_{n-1}} Q_{n-1}$ 由 $Q$-消解的正合性及此前的交换性落入 $\ker(Q_{n-1}\to Q_{n-2})=\operatorname{im}(Q_n \to Q_{n-1})$，而由 $P_n$ 的投射性，此映射可经由满射 $Q_n \to \operatorname{im}(Q_n\to Q_{n-1})$ 提升，得到满足 $d f_n = f_{n-1} d$ 的 $f_n: P_n \to Q_n$。

第二步（对称地构造 $g_\bullet$）。将 $P_\bullet$ 与 $Q_\bullet$ 的角色互换，用完全相同的论证得到提升 $\mathrm{id}_M$ 的 $g_\bullet: Q_\bullet \to P_\bullet$。

第三步（同伦唯一性）。设 $f_\bullet, f'_\bullet: P_\bullet \to Q_\bullet$ 是两个都提升 $\mathrm{id}_M$ 的链映射；令 $h_\bullet = f_\bullet - f'_\bullet$，这是一个提升 $0$ 的链映射。归纳地构造满足 $h_n = d s_n + s_{n-1} d$ 的链同伦 $s_n: P_n \to Q_{n+1}$：当 $n=0$ 时，$h_0: P_0 \to Q_0$ 与 $Q_0\to M$ 的复合为 $0$（因为 $h$ 提升 $0$），故 $h_0$ 经由 $\ker(Q_0\to M)=\operatorname{im}(Q_1\to Q_0)$ 分解；由 $P_0$ 的投射性，此分解可提升为满足 $d s_0 = h_0$ 的 $s_0: P_0 \to Q_1$。归纳地，一旦构造出 $s_{n-1}$，$h_n - s_{n-1} d: P_n \to Q_n$ 与 $d: Q_n \to Q_{n-1}$ 的复合由归纳关系为零，故（由 $Q_\bullet$ 的正合性）它经由 $\operatorname{im}(Q_{n+1}\to Q_n)$ 分解，而由 $P_n$ 的投射性，此分解可提升为满足 $d s_n = h_n - s_{n-1}d$ 的 $s_n$，即所需的 $h_n = d s_n + s_{n-1}d$。

第四步（结论）。第三步表明 $\mathrm{id}_M$ 的任意两个提升都链同伦，特别地 $g_\bullet f_\bullet$ 与 $\mathrm{id}_{P_\bullet}$ 都是（经由 $P_\bullet \to Q_\bullet \to P_\bullet$ 的）$\mathrm{id}_M \circ \mathrm{id}_M = \mathrm{id}_M$ 的提升，故 $f_\bullet \simeq g_\bullet$ 意味着 $g_\bullet f_\bullet \simeq \mathrm{id}_{P_\bullet}$，对称地 $f_\bullet g_\bullet \simeq \mathrm{id}_{Q_\bullet}$。这正是链同伦等价的定义，又因为 $\operatorname{Hom}_R(-,B)$ 与 $-\otimes_R B$ 把链同伦的映射送到链同伦的映射，由 $P_\bullet$ 或 $Q_\bullet$ 计算出的同调群 $\operatorname{Ext}^n_R(A,B)$、$\operatorname{Tor}^R_n(A,B)$ 因此同构。