同调长正合列

第一步（构造 $\partial$）。取 $[a''] \in H_n(A'')$，其代表闭链为 $a'' \in A''_n$，$d(a'')=0$。由于 $A_n \to A''_n$ 是满射，把 $a''$ 提升为某个 $a \in A_n$。于是 $d(a) \in A_n$ 映到 $A''_{n-1}$ 中的 $d(a'')=0$，因此由正合性存在唯一的 $a' \in A'_{n-1}$ 使得 $d(a) = \iota(a')$（利用 $\iota: A' \to A$ 的单射性）。定义 $\partial[a''] := [a']$。

第二步（$a'$ 是闭链，且 $\partial$ 定义良好）。由于 $\iota$ 是单射且链映射与 $d$ 交换，$\iota(d a') = d(\iota a') = d(d a) = 0$，故 $d a' = 0$，$[a']$ 是真正的同调类。若选取 $a''$ 的另一个提升 $\tilde a$，则 $\tilde a - a$ 在 $A''_n$ 中映为 $0$，故存在 $c \in A'_n$ 使 $\tilde a - a = \iota(c)$；此时 $H_{n-1}(A')$ 中所得两个类相差 $[d(c)] = 0$。类似的验证表明 $\partial$ 不依赖于 $[a'']$ 的闭链代表元（把 $a''$ 换成 $a'' + d(b'')$ 只会使 $a$ 改变一个边缘元，从而 $a'$ 也只改变一个边缘元）。

第三步（在 $H_n(A)$ 与 $H_n(A'')$ 处的正合性）。在 $H_n(A)$ 处的正合性（$H_n(A')\to H_n(A)$ 的像等于 $H_n(A)\to H_n(A'')$ 的核）与在 $H_n(A'')$ 处的正合性（$H_n(A)\to H_n(A'')$ 的像等于 $\partial$ 的核）都可通过对代表元直接进行图追踪得到，只需用到 $\iota$ 的单射性、商映射的满射性，以及链层面的 $\operatorname{im}\iota = \ker(\text{quotient})$——与第一、二步同样的论证方式，逐次数应用即可。

第四步（在 $H_{n-1}(A')$ 处的正合性）。最后验证 $\operatorname{im}\partial = \ker(H_{n-1}(A')\to H_{n-1}(A))$：若 $\partial[a'']=[a']$，则 $\iota(a')=d(a)$ 是 $A$ 中的一个边缘元，故 $[a']$ 在 $H_{n-1}(A)$ 中映为 $0$，得到 $\operatorname{im}\partial \subseteq \ker$；反之若对某个 $a\in A_n$ 有 $\iota(a')=d(a)$，倒着运行第一步可知 $a$ 的像 $a''=$ 满足 $\partial[a'']=[a']$，得到反向包含。至此每一处的正合性都已验证完毕，整个构造正是经典的蛇形引理。