希尔伯特基定理

第一步(首项系数理想)。设 $I \subseteq R[x]$ 为一理想。对每个次数 $n \ge 0$,设 $L_n$ 为 $I$ 中 $n$ 次元素的首项系数全体连同 $0$ 构成的集合。用 $x$ 乘一个 $n$ 次多项式表明 $L_n \subseteq L_{n+1}$,且每个 $L_n$ 都是 $R$ 的理想(对加法的封闭性与对 $R$ 倍的吸收性直接来自 $I$ 是理想这一事实)。

第二步(两次利用 $R$ 是诺特环)。由升链条件,链 $L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \cdots$ 在某个 $L_N$ 处稳定。由于 $R$ 是诺特环,$L_0,\ldots,L_N$ 每一个都有限生成;为每个 $L_n$($n=0,\ldots,N$)选取有限个生成元,并为每个生成元选取一个以它为首项系数、次数为 $n$ 的多项式 $f_{n,i} \in I$。这样总共得到一个有限列表 $\{f_{n,i}\}$。

第三步(按次数归纳约化)。我们断言 $I$ 由这个有限列表生成。取任意 $f \in I$,次数为 $d$,对 $d$ 作归纳。若 $d \le N$,则 $f$ 的首项系数属于 $L_d$,故它是 $f_{d,i}$ 首项系数的 $R$ 组合;从 $f$ 中减去 $f_{d,i}$ 对应的 $R$ 组合可消去 $d$ 次项,得到 $I$ 中次数严格更低的元素,归纳继续。若 $d > N$,则 $f$ 的首项系数属于 $L_d = L_N$,故它是 $f_{N,i}$ 首项系数的 $R$ 组合;减去对应的 $x^{\,d-N} f_{N,i}$ 组合同样消去首项并使次数严格降低。

第四步(结论)。反复第三步最终得到零多项式,故 $f$ 是有限列表 $\{f_{n,i}\}$ 的 $R[x]$ 组合。因此 $R[x]$ 的每个理想都有限生成,即 $R[x]$ 是诺特环。从诺特环 $k$ 出发反复应用 $n$ 次,即得 $k[x_1,\ldots,x_n] = k[x_1][x_2]\cdots[x_n]$ 是诺特环。