希尔伯特零点定理

第一步(作为输入使用的弱零点定理)。由于 $k$ 代数闭,$k[x_1,\ldots,x_n]$ 的每个极大理想都形如 $(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)$,对应某点 $(a_1,\ldots,a_n) \in k^n$;这可由扎里斯基引理证明(作为 $k$ 上代数有限生成的域是 $k$ 的有限扩域,由于 $k$ 代数闭,故等于 $k$ 本身)。因此若 $J \ne (1)$,则 $J$ 含于某极大理想中,从而 $V(J) \ne \emptyset$。

第二步(容易的包含关系,$\sqrt{J} \subseteq I(V(J))$)。若对某个 $m$ 有 $f^m \in J$,则 $f^m$ 在 $V(J)$ 的每一点都为零,而域中元素之积为 $0$ 仅当某个因子为 $0$,故 $f$ 本身也在那里为零,即 $f \in I(V(J))$。

第三步(反向包含的拉宾诺维奇技巧)。设 $f \in I(V(J))$。引入新变量 $y$,构造 $J' = J + (1 - yf) \subseteq k[x_1,\ldots,x_n,y]$。$V(J')$ 中任意一点都必须落在 $V(J)$ 中(以满足 $J$ 的生成元)且满足 $1-yf=0$;但 $f$ 在整个 $V(J)$ 上为零,使得那里 $1-yf=1$,永不为 $0$。故 $V(J') = \emptyset$,由第一步的逆否命题得 $J' = (1)$:对 $J$ 的生成元 $J_i$ 存在多项式使 $1 = h(x,y)(1-yf) + \sum_i g_i(x,y) J_i(x)$。

第四步(消去分母)。在此恒等式中形式代入 $y = 1/f$(在 $k[x_1,\ldots,x_n][1/f]$ 中运算)——含 $h$ 的项因 $1-yf$ 变为 $0$ 而消失,剩下 $1 = \sum_i g_i(x,1/f) J_i(x)$。两边乘以足够高的幂 $f^m$ 以消去 $g_i$ 引入的每个分母 $f$,得到 $f^m = \sum_i \tilde g_i(x) J_i(x) \in J$(其中 $\tilde g_i$ 为多项式),即 $f \in \sqrt{J}$。结合第二步得 $I(V(J)) = \sqrt{J}$,当 $J=\sqrt J$ 时对两边取根即得所述推论 $\sqrt{I(V(J))} = J$。