希尔伯特变换的L²有界性

第一步(通过正则化求出乘子)。核 $1/(\pi x)$ 不可积,因此对其近似:对 $\epsilon>0$,令 $k_\epsilon(x) = \frac{1}{\pi}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}$,这是一个奇的、可积的近似,当 $\epsilon\to 0$ 时收敛到主值核。直接计算(留数或查表)可得 $\hat k_\epsilon(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, e^{-2\pi\epsilon|\xi|}$。

第二步(取极限)。当 $\epsilon \to 0^+$ 时,对每个固定的 $\xi \ne 0$ 都有 $e^{-2\pi\epsilon|\xi|} \to 1$,且对良好的 $f$ 有 $k_\epsilon * f \to Hf$。在卷积定理中取极限,便得到乘子恒等式 $\widehat{Hf}(\xi) = -i\,\operatorname{sgn}(\xi)\, \hat f(\xi)$:希尔伯特变换在频域一侧就是乘以 $-i\,\operatorname{sgn}(\xi)$。

第三步(应用普朗歇尔定理)。由于对几乎所有 $\xi \ne 0$ 都有 $|-i\,\operatorname{sgn}(\xi)| = 1$(单点测度为零,不影响积分),故对几乎所有 $\xi$ 有 $|\widehat{Hf}(\xi)|^2 = |\hat f(\xi)|^2$。两边积分并应用普朗歇尔定理即得 $\|Hf\|_{L^2} = \|f\|_{L^2}$:希尔伯特变换是 $L^2(\mathbb{R})$ 上的等距映射,特别地是有界的。