Calderón–Zygmund定理

第一步(Calderón–Zygmund分解)。固定 $f \in L^1$ 与 $\lambda>0$。利用二进方体上的停时论证(等价地,使用Hardy–Littlewood极大函数 $Mf$),将其分解为 $f = g + b$,其中『好』的部分满足 $\|g\|_\infty \le C\lambda$ 与 $\|g\|_1 \le \|f\|_1$,『坏』的部分 $b = \sum_j b_j$ 是支撑在两两不交的二进方体 $Q_j$ 上、均值为零( $\int_{Q_j} b_j = 0$ )的各块之和,且总测度满足 $\sum_j |Q_j| \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$(这恰好是把 $M$ 的弱(1,1)估计用在停时方体上)。

第二步(好的部分)。由于 $T$ 在 $L^2$ 上有界,且 $\|g\|_2^2 \le \|g\|_\infty \|g\|_1 \le C\lambda\|f\|_1$,由切比雪夫不等式得 $|\{|Tg| > \lambda/2\}| \le \frac{4}{\lambda^2}\|Tg\|_2^2 \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$:仅好的部分就已经满足弱(1,1)估计。

第三步(坏的部分,在加倍方体之外)。设 $Q_j^*$ 是与 $Q_j$ 同心、边长加倍的方体;并集 $\bigcup_j Q_j^*$ 的测度也至多为 $\frac{C}{\lambda}\|f\|_1$。在 $Q_j^*$ 之外,利用 $b_j$ 的均值为零条件可以从核中减去一个常数:设 $Q_j$ 的中心为 $c_j$,则 $Tb_j(x) = \int_{Q_j} \big(K(x-y)-K(x-c_j)\big) b_j(y)\,dy$,而Hörmander光滑性估计 $|K(x)| \le \dfrac{C}{|x|^n}, \qquad |\nabla K(x)| \le \dfrac{C}{|x|^{n+1}}$ 说明这个差足够小,使得 $\int_{(Q_j^*)^c} |Tb_j(x)|\,dx \le C\|b_j\|_1$。

第四步(合并)。对 $j$ 求和第三步的结果,并在加倍方体之外应用切比雪夫不等式,得到 $\big|\{x \notin \bigcup_j Q_j^* : |Tb(x)|>\lambda/2\}\big| \le \frac{C}{\lambda}\sum_j \|b_j\|_1 \le \frac{C}{\lambda}\|f\|_1$。再加上第一步中 $\bigcup_j Q_j^*$ 的测度,坏的部分对水平集的贡献同样是 $O(\|f\|_1/\lambda)$,与第二步好的部分合并,即得到完整的估计 $\big|\{x : |Tf(x)| > \lambda\}\big| \le \dfrac{C}{\lambda}\|f\|_{L^1}$。