埃卡特–扬–米尔斯基定理

可达性。 由于 $U, V$ 的列标准正交，$\|A - A_k\|_2 = \|U(\Sigma - \Sigma_k)V^\top\|_2 = \|\Sigma - \Sigma_k\|_2$，其中 $\Sigma_k$ 保留前 $k$ 个奇异值而将其余置零。$\Sigma - \Sigma_k$ 是对角矩阵，元素为 $0, \dots, 0, \sigma_{k+1}, \dots, \sigma_r$，因此其算子范数即为其最大元素 $\sigma_{k+1}$。

最优性。 设 $B$ 为满足 $\operatorname{rank}(B) \le k$ 的任意矩阵；其零空间（核）维数至少为 $n - k$。令 $S = \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{k+1})$ 为一个 $(k+1)$ 维子空间。由于 $\dim(\ker B) + \dim(S) \ge (n-k) + (k+1) = n+1 > n$，这两个子空间必定在原点之外也有交集：存在单位向量 $z \in S$ 使得 $Bz = 0$。

写成 $z = \sum_{i=1}^{k+1} c_i v_i$，其中 $\sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 = 1$（因为 $z$ 为单位范数且 $v_i$ 标准正交）。由于 $Bz = 0$，利用 $u_i$ 的标准正交性可得 $\|(A-B)z\| = \|Az\| = \left\|\sum_{i=1}^{k+1} c_i \sigma_i u_i\right\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 \sigma_i^2}$。

由于对每个 $i \le k+1$ 都有 $\sigma_i \ge \sigma_{k+1}$，故 $\sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 \sigma_i^2 \ge \sigma_{k+1}^2 \sum_{i=1}^{k+1} c_i^2 = \sigma_{k+1}^2$。因此对任意秩 $\le k$ 的矩阵 $B$ 都有 $\|A-B\|_2 \ge \|(A-B)z\| \ge \sigma_{k+1}$，结合可达性即证明了该定理。