由希尔伯特作用量与比安基恒等式导出爱因斯坦场方程

第一步（分解引力被积函数的变分）。 写 $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$。由乘积法则，$$\delta\big((R-2\Lambda)\sqrt{-g}\big) = R_{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,\delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}(\delta R_{\mu\nu})\sqrt{-g} + (R-2\Lambda)\,\delta\sqrt{-g}.$$

**第二步（$\delta\sqrt{-g}$ 的雅可比公式与帕拉蒂尼恒等式）。** 利用雅可比恒等式 $\delta(\det g)=(\det g)\,g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}=-(\det g)\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$，得 $\delta\sqrt{-g}=-\tfrac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$。同时，帕拉蒂尼恒等式把里奇变分写成协变散度 $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}=\nabla_\alpha\big(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^\alpha_{\mu\nu}-g^{\alpha\nu}\delta\Gamma^\mu_{\mu\nu}\big)$，对支集远离边界的变分 $\delta g^{\mu\nu}$，由斯托克斯定理知其在 $M$ 上的积分为零。

**第三步（组合 $\delta S=0$）。** 结合第一、二步以及定义 $T_{\mu\nu}\equiv-\dfrac{2}{\sqrt{-g}}\dfrac{\delta S_{\mathrm{matter}}}{\delta g^{\mu\nu}}$，得 $$\delta S = \int_M \left[\frac{c^4}{16\pi G}\left(R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}\right) - \frac12 T_{\mu\nu}\right]\delta g^{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\,d^4x = 0.$$ 由于 $\delta g^{\mu\nu}$ 是任意对称张量变分，方括号内必须逐点为零，从而得到 $R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$。

第四步（缩并比安基恒等式与守恒律）。 将第二比安基恒等式 $\nabla_\lambda R_{\rho\sigma\mu\nu}+\nabla_\rho R_{\sigma\lambda\mu\nu}+\nabla_\sigma R_{\lambda\rho\mu\nu}=0$ 用 $g^{\lambda\mu}g^{\rho\nu}$ 缩并两次，得 $\nabla^\mu R_{\mu\nu}-\tfrac12\nabla_\nu R=0$，即对 $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12 Rg_{\mu\nu}$ 成立 $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$。又因 $\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$（度规相容性），对 $R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ 两边作用 $\nabla^\mu$ 即迫使 $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$。